47. Доверительный интервал для нормального распределения

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью   покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки математического ожидания   случайной величины  , распределенной по нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении   служит доверительный интервал

где   - точность оценки,   - объем выборки,   - выборочное среднее,   - аргумент функции Лапласа, при котором 

48.Доверительный интервал при Распределе́ние Стью́дента

а в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Уильяма Сили Госсета, который первым опубликовал работы, посвящённые распределению, под псевдонимом «Стьюдент».

Определение

Пусть   — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что  . Тогда распределение случайной величины  , где

называется распределением Стьюдента с   степенями свободы. Пишут  . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

,

где   — гамма-функция Эйлера.

Использование t-распределения

Можно использовать нормальное распределение, если знать  значение дисперсии в популяции. Кроме того, когда объем выборки небольшой, выборочное среднее отвечает нормальному распределению, если данные, лежащие в основе популяции, распределены нормально. 

Если данные, лежащие в основе популяции, распределены ненормально и/или неизвестна генеральная дисперсия (дисперсия в популяции), выборочное  среднее подчиняется t-распределению Стьюдента. 

Вычисляем 95% доверительный интервал для генерального среднего в популяции следующим образом:

где    - процентная точка (процентиль) t-распределения Стьюдента с (n-1) степенями свободы, которая даёт двухстороннюю вероятность 0,05. 

Вообще, она обеспечивает более широкий интервал, чем при использовании нормального распределения, поскольку учитывает дополнительную неопределенность, которую вводят, оценивая стандартное отклонение популяции и/или из-за небольшого объёма выборки.

Когда объём выборки большой (порядка 100 и более), разница между двумя распределениями (t-Стьюдента и нормальным) незначительна. Тем не менее всегда используют t-распределение при вычислении доверительных интервалов, даже если объем выборки большой.

Обычно указывают 95% ДИ. Можно вычислить другие доверительные интервалы, например 99% ДИ для среднего. 

Вместо произведения стандартной ошибки и табличного значения t-распределения, которое соответствует двусторонней вероятности 0,05, умножают её (стандартную ошибку) на зна

49. Статическая проверка статических гипотез:понятие и виды Определения

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина  , распределение которой   известно полностью или частично. Тогда любое утверждение, касающееся   называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

• Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение  , то есть  , где   какой-то конкретный закон, называется простой.

• Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения   к некоторому семейству распределений, то есть вида  , где   — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу  . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза  , называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке   фиксированного объема   из распределения  . Впоследовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её объем является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).