4. Вероятность события

Перейдем к основному понятию теории вероятностей – понятию вероятности события. В методологических терминах можно сказать, что вероятность события является мерой возможности осуществления события. В ряде случаев естественно считать, что вероятность события А – это число, к которому приближается отношение количества осуществлений события А к общему числу всех опытов (т.е. частота осуществления события А) – при увеличении числа опытов, проводящихся независимо друг от друга. Иногда можно предсказать это число из соображений равновозможности. Так, при бросании симметричной монеты и герб, и решетка имеют одинаковые шансы оказаться сверху, а именно, 1 шанс из 2, а потому вероятности выпадения герба и решетки равны 1/2.

Однако этих соображений недостаточно для развития теории. Методологическое определение не дает численных значений. Не все вероятности можно оценивать как пределы частот, и неясно, сколько опытов надо брать. На основе идеи равновозможности можно решить ряд задач, но в большинстве практических ситуаций применить ее нельзя. Например, для оценки вероятности дефектности единицы продукции. Поэтому перейдем к определениям в рамках аксиоматического подхода на базе математической модели, предложенной А.Н.Колмогоровым (1933).

Определение 1. Пусть конечное множество   является пространством элементарных событий, соответствующим некоторому опыту. Пусть каждому   поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое вероятностью элементарного события  , причем сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1, т.е.

http://www.aup.ru/books/m155/2_2.files/image010.gif (1)

Тогда пара  , состоящая из конечного множества   и неотрицательной функции Р, определенной на   и удовлетворяющей условию (1), называется вероятностным пространством. Вероятность события А равна сумме вероятностей элементарных событий, входящих в А, т.е. определяется равенством

   (2)

5.Аксиоматическое определение вероятности

Пусть W - произвольное пространство элементарных событий, а   - такая совокупность случайных событий, для которой справедливо: W  , AB , A+B    и A\B , если A  и B   .

Числовая функция P, определенная на совокупности событий  , называется вероятностью,если:

1. P(A)  0 для любого A из  ;

2. P(W ) = 1;

3. если A  и B    несовместны, то P(A+B) = P(A) + P(B);

4. для любой убывающей последовательности событий {A_i}из  , , такой, что   , имеет место равенство  .

Тройку   называют вероятностным пространством.

6.Геометрические вероятности

Когда мы рассматривали классическое определение вероятности, мы имели дело всегда с конечным числом элементарных событий, т.е. число возможных исходов данного испытания было конечно. Однако, иногда результатов испытания — событий — может бесконечное число. Так, например, если испытание — выбор точки из отрезка  . В данном случае мы тоже можем определить вероятность наступления того или иного события, но несколько иначе, чем в классическом случае.

Замечание. В дальнейшем нам понадобится понятие меры множества. Если рассматривать множества на прямой, т.е. отрезки, то их мерой будет длина, на плоскости — фигуры — площадь, в простанстве — тела — объем.

Определение. Пусть   — множество в  -мерном пространстве ( ), объем которого   конечен. Множество событий состоит из всех измеримых (имеющих объем) подмножеств  . Вероятность наступления события   тогда определяется равенством

Определение. Предыдущее равенство называется геометрическим определением вероятности.