Теорема Бернулли

Теорема Бернулли устанавливает связь между относительной частотой появления события и его вероятностью.

При достаточно большом числе независимых испытаний   с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что разность между относительной частой появления события   в этих испытаниях е го вероятностью в отдельном испытании по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа  , если вероятность наступления этого события в каждом испытании постоянна и равна  .

Утверждение теоремы Бернулли можно записать в виде неравенства

где   — любые сколь угодно малые положительные числа. Теорема Ляпунова

Рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определённым предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Общее название этой группы теорем — центральная предельная теорема. Различными её формы различаются условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин.

Закон распределения суммы независимых случайных величин   приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении  , если выполняются следующие условия:

1) все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии:

 где  .

2) ни одна из величин по значению резко не отличается от остальных.

34.Специальные методы решения вер-х задач

35.Специальные распределения вероятностей

36.Случайный процесс

Случа́йный проце́сс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты. Другое определение: Случайным называется процесс u(t), мгновенные значения которого являются случайными величинами.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство  . Параметризованное семейство   случайных величин

,

где   произвольное множество, называется случайной функцией.

Терминология

• Если  , то параметр   может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция   называется случайным процессом. Если множество  дискретно, например  , то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.

• Если  , где  , то параметр   может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».

Классификация

• Случайный процесс X(t) называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t₁, t₂,…, число которых конечно или счетно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.

• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:

• Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени  , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.

• Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.

• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определенного порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом ^[1].

• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.

• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.

• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора  , где  , а  ,случайные величины  ,  ,  ,   независимы в совокупности.

• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.

• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.