49. Неперервна випадкова величина .Функція розподілу і щільність розподілу н.В.В., їх властивості .Ймовірність попадання в.В. В заданий інтервал.

Неперервною в.в. назив в.в. , яка приймає всі значення з деякого скінченного або нескінченного інтервалу. До неперервних в.в. можно віднести помилки обчислень , температуру тіла людини та ін.

Н.в.в. можно задати 2-ма способами :

1) функцією розподілу F(x)

2)щільністю розподілу імовірностей f(x)

Нехай ч- неперервно в.в. , що задана функ.розподілу .Ф f(x)- неперервна і диф. Розглянемо дуже малий проміжок (x ,∆x),∆x>0 ы зн. P(x<x<x+∆x).Відомо ,що P(<x<) =F()- F(). P(x < x<x+∆x)=F(x +∆x) –F(x) Розглянемо lim_∆x→0 P (x< x <x+∆x)/∆x=lim_∆x→0F(x+∆x)- F(x ) /∆x=lim_∆x→0∆F(x)/∆x=F’(x) =f(x)

Щільністю розподілу імовірностей Н.в.в. Х назив .функ.F(x)першу похідну від функції розподілу , тобто f(x)=F’(x).Із цього випливає , що функ.розподілуF(x)є первісною для щільності розподілу.Щільністьрозподілу має такі властивості :

1. щільністьрозподілу невід’ємна функція

2. Невласний інтеграл від щільності розподілу в межах (- ∞ ,+∞) = 1 , тобто _-∞^∞_∫ f(x)dx=1

Імовірність того,що Н.в.в. Х прийме значення , що належить інтервалу [a,b]дорівнює визначеному інтервалу від щільності розподілу взятого в межах [a,b].

Доведення Відомо ,що P(a<x<b)=F(b)-F(a)=F(x)/_a^b =_a^b∫f(x)dx

Таким чином , імовірність попадання P(a<x<b)= _a^b∫f(x)dx. Знаходження функції розподілу по вівдомій щільності розподілу задача набагато складніша чим знаходження щільності розподілу за функцією розподілу.Щільність розпод.імов.є диферен. Функ.розподілу f(x)=F’(x),а функція розподілу є інтегральною функцією F(x) = _-∞ ^x∫ f(x)dx

Дійсно , за означенням F(x)=P(x<x)=P(-∞<x<x)= _-∞^x∫f(x)dx =F(x); F(x)= _-∞^x∫f(x)dx

50.Числові характеристики дискретної випадкової величини m(X),d(X), ∂(X) та їх властивості .

Математичним сподіванням дискретної в.в. х назив. суму добутків всіх її можливих значень х₁, х₂, х₃, …, х_n на відповідні імовірності p₁, p₂, p₃, …,p_n , тобто M(x)=x₁p₁+ x₂p₂+x₃p₃+…+ x_np_n= ⁿ _i=1∑xipi. Якщо дискретна в.в. Х приймає нескінченну зліченну множину значень , то її иатем. Сподівання знаходиться за формулою M(x)=ⁿ_i=1∑xipi.Матем.спод. існує , якщо даний ряд є абсолютно збіжним .

Властивості :

1.матем.спод. константи = константі M( c ) =c ,c= constдоведення Будемо розглядати сталу величину с як д.в.в. , яка приймає тільки одне значення сімовірністю 1.Тоді M(c ) =ⁿ_i=1∑xipi= ⁿ_i=1∑c*1=c , M ( c) =c

2.Сталий множник можно винести за знак матем.спод. M( Cx)= CM(x)

Доведення : M( Cx ) = ⁿ _i=1∑cx_ip_i = c ⁿ_i=1∑x_ip_i= cM(x)

3.Матем.спод. добутку 2-ох їх матем.сподівань M(xy)=M(x)*M(y)

Наслідок: Матем.спод. добутку декількох взаємонезалежних в.в. =добутку їх матем. cподівань.M(xyz)=M(xy)*M(z)= M(x)*M(y)*M(z)

4.Матем .спод.суми двох в.в. = сумі матем . сподіваньцих велечин M(x+y) =M(x) + M(y).Наслідок :Матем.спод. суми декількох в.в. = сумі матем. спод. Цих в.в.

Для того , щоб оцінити як розсіяні можливі значення в.в. навколо матем . спод. вводять в розгляд числову характеристику , яку назив . дисперсією , і позначають D(X)

Дисперсією в.в. х назив. матем . спод. квадрата відхилення в.в. від її матем. спод.

D(x)= M(x- M(x))².

Для дискретноїв.в. дисперсія = сумі добутків квадратів відхиленнь значень в.в. від матем. спод. на відповідній імовірності .D(x)= ⁿ _i=1∑ (x_i- M(x))²p_i

Властивості дисперсії:

1.дисперсія константи = 0 , D( c) =0 , c= const Дійсно D( c) = M( c – M ( c) )²= M ( c-c)² =M(0) =0

2.Сталий множник можно винести за знак дисперсії підносячи його до квадрату

D(cx) = C²D(x) , с =const

D (cx )= M(cx –M(cx) )²= M( Cx- CM(x))2= M [C²(x-M(x))²]=c²M(x-M(x))²= C²D(x)

3) Дисперсія суми двох незалежних випадкових велечин дорівнює сумі дис. Цих велечин.D( x+y) = D(x) + D(y). Наслідок 1 : Дисперсія суми декількох взаэмонезалежних випадкових велиин = сумі дисперсій цих величин .Наслідок 2 :Дисперсія суми сталої велечини і випадкової = дисперсії в . велечини.

4) Дисперсія різниці двох незалежних випдкових велечин = сумиі їх дисперсії

D( x-y) = D(x) – D(y).

D(x) =npq.

Невід’ємне число ∂(х) =√D(x) назив . середнім квадратним відхиленням в.в.х- ∂(х) – має розмірність в.в. і виз. Деякий стандартний середньо-квадратичний інтервал розсіювання симетричний відносно матем . спод.

Дисперсія і середне квад. відхилення є мірою розсіювання значень випадкової велечини навколо матем . сподівання.