28. Методика вивчення алгебраїчного матеріалу в курсі математики початкових класів.

Мета введення елементів алгебри та математичної символіки в курс математики початкових класів дасть можливість: 1) узагальнити знання учнів про число, арифметичні дії та відношення; 2) сформувати уявлення дітей про математичні вирази, числові рівності та нерівності; 3) ознайомити з буквеною символікою, а отже із моделюванням явищ навколишньої дійсності; 4) навчити розв'язувати задачі з буквеними даними; 5) формувати початкові уявлення про функціональну залежність; 6) навчити розв'язувати найпростіші рівняння та нерівності; 7) більш повно і глибоко розкрити арифметичні поняття; 8) довести узагальнення учнів до більш високого рівня; 9) створити передумови для успішного засвоєння в подальшому систематичного курсу алгебри тощо.

Алгебраїчний матеріал включає такі питання:

- числовий вираз 23 + 2 (простий), 22 + 2 · 2 + 5 (складений);

- вираз із змінною 3 + а, якщо а=2, то 3+а=3=2=5;

- числова рівність 235=200+30+5;

- числова нерівність 2+3 > 2+6, 22 < 35;

- числова нерівність, що містить змінну 22 – а > 12;

- рівняння – 5 + х = 8.

Кожне із названих понять не доводиться до формально-логічного означення, яке повинні знати діти, бо відповідні поняття в наступних класах будуть уточнюватися, а в трактування деяких будуть вноситись істотні зміни. Саме тому вчитель не повинен вимагати від учнів відповідей на запитання виду “що називається виразом?”, формулювань означень, бо згодом доведеться перебудовувати знання школярів. Достатньо, якщо діти зможуть виділяти вказані алгебраїчні поняття серед інших математичних об’єктів.

29. Методика вивчення з молодшими школярами числових виразів та виразів, що містять змінну. Методика вивчення числових рівностей та нерівностей.

Поняття виразу вводиться з допомогою індуктивного означення, яке в силу вікових особливостей недоступне молодшим школярам. Саме тому в курсі математики початкової школи дітям не повідомляється означення виразу, а це поняття вводиться лише на індуктивній основі. Так, діти повинні розпізнавати математичні вирази серед інших математичних об’єктів, відрізняти їх від рівностей, нерівностей і рівнянь. У початкових класах вирази, так само як і в курсі алгебри, поділяються на дві групи: 1) найпростіші, до яких відносять будь-яке окремо взяте число або суму, різницю, добуток і частку (наприклад: 2, 456, 4+3, 10-7, 127, 72:6); 2) складені математичні вирази, які отримуються із найпростіших з допомогою їх комбінацій або використання дужок (наприклад: 127+94, (36:9-72:24)+123 тощо).

Основні завдання щодо формування уявлень молодших школярів про математичні вирази слід вважати наступні:

1) навчити учнів розпізнавати і виділяти математичні вирази серед інших математичних об'єктів;

2) навчити читати, складати і записувати математичні вирази та обчислювати їхні числові значення;

3) ознайомити із правилами порядку виконання дій при обчисленні числових значень виразів та навчити користуватись цими правилами;

4) навчити учнів порівнювати число і вираз, два вирази;

5) розпочати формування уявлень дітей про тотожні перетворення математичних виразів.

На підготовчому етапі до ознайомлення з найпростішими математичними виразами, який розпочинається з перших уроків математики, а завершується на уроці, де вперше вводиться явно перший математичний вираз - сума. Учні фактично вперше зустрічаються із математичними виразами вже тоді, коли з допомогою карток виставляють на набірному полотні цифри 1, 2, 3 тощо або 1+1, але при цьому вони не застосовують відповідної термінології.

Система вправ яка використовується при підготовці до введення першого найпростішого математичного виразу – сума – наступні: 1) визначення чисельності скінченних множин за допомогою лічби; 2) порівняння чисельностей двох скінченних множин предметів; 3) утворення наступного і попереднього числа із двох доданків; 4) розв'язування прикладів на додавання і віднімання чи множення і ділення відповідно; 5) порівняння чисел; 6) засвоєння відповідної термінології та символіки; 7) розв'язування простих задач тощо.

Робота з формування уявлень дітей про числові вирази відбувається у такій послідовності:

1) ознайомлення із найпростішими виразами сума і різниця;

2) введення виразів на дві дії, серед яких є як дія додавання, так і дія віднімання, наприклад: 5+1+2, 7-2-2, 9-2+1 тощо;

3) ознайомлення із складеними виразами, які включають в себе дві дії першого ступеня з дужками, наприклад: 12-(3+2), 18-(10-5), 7+(3-2) тощо;

4) введення найпростіших виразів, що містять дії множення і ділення, наприклад: 57, 14:2 тощо;

5) ознайомлення із виразами на дві дії першого і другого ступеня, при обчисленні числових значень яких дії виконуються у порядку слідування, наприклад: 97-53, 26-2, 16:4+6, 123:9 тощо;

6) введення виразів на дві дії першого і другого ступеня, при знаходженні числових значень яких використовується правило порядку виконання дій у виразах з дужками, наприклад: (15-3):4, (13+7)5 тощо;

7) ознайомлення із виразами, які містять три і більше дій, наприклад: 7285-123:6.

Ознайомлення школярів з найпростішими числовими виразами (сума, різниця, добуток, частка) вводяться майже однаково. Відмінність полягає лише в тому, що при введенні першого числового виразу “сума” діти спочатку знайомляться з цим терміном як результатом дії додавання, а лише через 2-3 уроки термін “сума” вводиться для позначення математичного виразу. При ознайомленні з різницею, добутком і часткою терміни “різниця”, “добуток” і “частка” зразу ж вводяться як для позначення результату арифметичних дій, так і для позначення математичного виразу. Виходячи із цього, можна зробити висновок про те, що теоретико-методичні основи ознайомлення дітей з найпростішими виразами аналогічні (це питання розглядалося нами у попередніх лекціях).

Як ми вже зазначали, першими найпростішими математичними виразами з точки зору математики фактично є числа 1, 2, 3 тощо. Крім того, уже при вивченні числа 2 діти знайомляться з математичними виразами - сума 1+1, різниця 2-1. Разом з тим, складаючи таблиці додавання і віднімання з переходом через десяток, учні використовують знаки “+” (плюс) і “-” (мінус) лише як коротке позначення слів “додати” чи “відняти”, вживаючи замість терміна “вираз” слово “приклад”.

У подальшій роботі з формування уявлень дітей про дії додавання і віднімання поступово вводяться назви компонентів і результатів дій додавання і віднімання, назви знаків дій “плюс”, “мінус” і термін “вираз”. Спочатку ці терміни використовуються лише у мові вчителя, а потім поступово входять до активного словника школярів. При ознайомленні з кожним найпростішим числовим виразом (сума, різниця, добуток, частка) вчитель повинен з метою наочного підкріплення вивішувати таблиці № 1,2.

Запис, який складається із двох чисел, що з’єднані знаком “плюс” і стоїть праворуч від знака дорівнює називають сумою. Запис, що стоїть по іншу сторону від знака дорівнює також називають сумою.

5	+	3	=	8		5	+	3	=	8
Перший доданок		Другий доданок		Сума		Сума				Сума

Для того, щоб формувати у дітей уявлення про найпростіші математичні вирази (сума, різниця, добуток і частка) та створювати належні умови для засвоєння відповідної термінології використовується така система вправ:

1. завдання, в яких потрібно записати відповідний математичний вираз, наприклад: запишіть суму чисел “5” і “2”;

2. вправи на обчислення числових значень вказаних математичних виразів, наприклад: обчисліть, чому дорівнює різниця чисел “7” і “3”;

3. завдання на читання відповідних виразів та обчислення їхніх числових значень, наприклад: прочитайте запис 32 і знайдіть його числове значення;

4. замініть дане число сумою (різницею, добутком, часткою) двох чисел, наприклад: замініть число 144 добутком двох однакових співмножників;

5. вправи на порівняння двох чисел, числа і виразу або двох виразів, наприклад: 27*23, 34*30+5, 40+7*40+5 тощо.

Перший складений вираз можна ввести двома способами: 1) розпочати знайомство зі складеними виразами в готовому вигляді; 2) отримати перший складений числовий вираз на очах у дітей в результаті утворення його із двох простих. Вибір того чи іншого шляху слід проводити відповідно до індивідуальних особливостей учнів класу. Крім того, вчитель повинен не забувати про перспективні лінії у формуванні уявлень школярів про складені вирази: ускладнення виразів проводиться за двома лініями, по-перше, розширюється числова область, на якій розглядаються вирази, по-друге, ускладнюється структура розглядуваних виразів.

Вчитель пропонує учням розв’язати складену задачу “У гаражі стояло 9 вантажних і 5 легкових автомобілі. 8 автомобілів виїхало. Скільки автомобілів залишилося у гаражі?”. Розв’язавши цю задачу та записавши її розв’язання по діях, вчитель проводить з дітьми наступну роботу: що ми визначали у першій дії? – загальну кількість автомобілів у гаражі. За допомогою якою дії ми це зробили? – за допомогою дії додавання, знайшовши суму чисел 9 і 5. Як називається запис 9+5? – сумою чисел 9 і 5. Як ми визначали кількість автомобілів, які залишилися у гаражі? – від суми чисел 9 і 5 відняли число 8. Чи можна записати розв’язання задачі одним виразом? – так, (9+5)-8.

Після цього приступаємо до навчання учнів умінню читати складені вирази. З цією метою проводимо таку бесіду: яку дію у цьому виразі виконуватимемо останньою? – віднімання. Як називаються числа при відніманні? – зменшуване і від’ємник. Чим виражене зменшуване? – сумою чисел 9 і 5. Чому дорівнює від’ємник? – 8. Як можна назвати весь вираз, якщо останньою дією в ньому є віднімання? – різницею. Як можна його прочитати? – різниця суми чисел 9 і 5 та числа 8 або зменшуване виражене сумою чисел 9 і 5, а від’ємник дорівнює 8. Після цього розпочинається робота з формування у школярів уміння читати, записувати та обчислювати значення складених числових виразів.

Одним із завдань ознайомлення учнів з математичними виразами є формування у них умінь читати вирази. Щоб сформувати уміння читати складені вирази, що містять дві і більше дії використовується така пам'ятка:

Пам'ятка

1. Встанови, яка дія виконується останньою.

2. Згадай, як називаються компоненти цієї дії.

3. Прочитай, чим виражені ці компоненти.

4. Прочитай весь вираз.

5. Обчисли його значення.

Щоб знайти значення числового виразу потрібно знати порядок виконання дій. Порядок дій регламентується правилами:

Правило 1: якщо у виразі є лише додавання і віднімання або множення і ділення, то дії виконуємо по порядку, в якому вони записані.

Правило 2: якщо у виразі є дужки, то спочатку виконуються дії у дужках, а потім за правилом 1.

Правило 3: якщо у виразі є множення, ділення, додавання і віднімання, то спочатку виконуємо по порядку множення і ділення, а потім - додавання і віднімання.

Тотожні перетворення числового виразу – це заміна даного виразу іншим, без зміни його значення. Програмою передбачено виконання таких перетворень з опорою на властивості арифметичних дій та наслідки (правила), які випливають із них (правило додавання суми до числа, числа до суми, віднімання числа від суми чи суми від числа тощо). При вивченні кожної властивості чи правила школярі на конкретних прикладах переконуються, що у виразах певного виду арифметичні дії можна виконати по-різному, але значення виразу при цьому не зміниться. У подальшому знання розглянутих властивостей і правил діти застосовують для тотожних перетворень виразів. Для того, щоб учні переконалися у правильності виконаних перетворень, їх слід привчати обчислювати значення заданого та перетвореного виразів і порівнювати їх. Прочитавши вираз, школяр повинен згадати відповідну властивість чи правило і, виконавши дії за правилом, отримати перетворений вираз.

Паралельно із вивченням виразів вводяться вирази із змінною або буквені вирази.

Підготовчою роботою до ознайомлення учнів із виразами, що містять змінну, є наступне: 1) виконання вправ із віконцями, наприклад: □+2=7, □-5=3, 9-□=4 тощо; 2) ознайомлення з новими буквами латинського алфавіту, причому спочатку вводяться букви, які пишуться і читаються в українській і латинській мовах однаково, (наприклад: а, к, м тощо), потім, які пишуться однаково в обох мовах, але читаються по-різному (наприклад: в, с, р тощо), і нарешті, які пишуться і читаються по-різному (наприклад: d, n, l тощо); 3) розв'язування вправ на знаходження невідомих компонентів арифметичних дій, наприклад: х+7=9, с-7=12, 15-у=8 тощо; 4) розв'язування задач з пропущеними числами, наприклад: “У магазин привезли ... ящиків огірків і ... ящиків помідорів. Скільки всього ящиків овочів привезли у магазин?”.

Ознайомлення з виразами із змінною:

8 + 1

8 + 2

8 + 3

8 + 4

- Прочитайте перші доданки.(8)

- Який доданок сталий?(перший)

- Який доданок змінюється? (другий)

- Щоб не записувати різні числа, другий доданок можна позначити будь-якою буквою латинського алфавіту, тоді у нас вийде вираз із змінною 8 + а

- Діти, що записано на дошці? (вираз із змінною)

- Прочитайте його різними способами. (діти читають)

- Якщо замість букви будемо підставляти зазначені числа, то для кожного числа можна знайти суму:

8 + а, якщо а = 1 , то 8 + а = 8 + 1 = 9.

Аналогічно слід ввести буквені вирази в-с, в●с, в:с. До свідомості дітей необхідно довести, що букви, які входять до буквеного виразу в+с, в-с, в●с чи в:с можуть приймати множину числових значень. Але вчитель не повинен забувати при формування уявлень дітей про вирази, що містять змінну: 1) не всі значення змінних можна підставляти у вираз, що містить змінну, наприклад: у вираз 47-а можна підставляти значення змінної, які не перевищують 47, бо інакше різниця не буде існувати; у вираз 48:к можна підставляти значення, при яких частка існує тощо; 2) букви є засобом узагальнення знань учнів про арифметичні дії та їх властивості; 3) формування уявлень про вирази, що містять змінну, слід вести на основі принципу переходу від конкретного до абстрактного і навпаки, від абстрактного до конкретного.

Буквені вирази використовують при усних обчисленнях.

а	1	2	3
а + 3

в	1	3	25
в · 2

м	10
n
м+ n	15
м – n
м · n
м : n

Робота з такою таблицею дає можливість:

1. Повторити назви компонентів дій;

2. Правила знаходження компонентів дій, коли відомо один із компонентів і результат.

3. Виконати обчислення усно чи письмово.

4. Скласти вирази, використовуючи таблицю.

Крім знаходжень значень буквених виразів, буквені вирази одержують при розв’язанні текстових задач:

Задача. З однієї грядки зібрали 6 гарбузів, а з другої – d гарбузів. Усі гарбузи склали в 2 ящика порівну в кожний. Скільки гарбузів вклали в 1 ящик?

(6 + d) : 2 (г.)

Відповідь: (6 + d) : 2 гарбузів вклали в один ящик.

Теоретико-методичні основи вивчення числових рівностей та нерівностей

В курсі математики початкових класів знаками “>”, “<”, “=” сполучають тільки такі числові вирази, які є правильними:

5 + 7 < 15 5 + 2 > 4 5 + 7 = 12

На основі порівняння двох чисел, числа і виразу, двох виразів, одержують рівності та нерівності в курсі математики початкових класів.

Термін “розв'язати нерівність” в початкових класах майже не вживається, бо учні знаходять не всю множину розв’язків, а лише окремі елементи цієї множини.

Завдання:

1.Навчити школярів відрізняти рівності та нерівності від інших математичних об’єктів.

2. Навчити практично оперувати рівностями та нерівностями.

3. Навчити дітей порівнювати два числа, числа і вираз, два вирази та записувати результат порівняння, використовуючи знаки “=”, “<”, “>”.

4. Навчити школярів переходити від нерівностей до рівностей і навпаки.

5. Навчити учнів розв’язувати нерівності методом підбору.

6. Навчити школярів читати одержані рівності та нерівності.

Діти вперше зустрічаються з числовими рівностями і нерівностями при вивченні чисел 1 і 2 (1+1=2, 2>1, 1<2). Таким чином, ознайомлення учнів з рівностями та нерівностями в курсі математики початкових класів безпосередньо пов’язується з вивченням нумерації та арифметичних дій. Отже, фактично саме з цього моменту розпочинається систематична робота із формування уявлень дітей про рівності і нерівності. Ця робота продовжується аж до кінця вивчення курсу математики.

З метою формування в учнів уявлень про рівність та нерівність можна використовувати вправи такого виду: 1) заповни віконце +3=4. Розв’язуючи цю вправу учні міркують так: +3=4 – це рівність, праворуч від знака рівності якої стоїть число 4, а ліворуч також повинно бути 4. Я знаю, що 4 – це 3 і 1, отже, у віконце слід вписати число 1; 2) встав потрібний знак і число: 5*=6. Розв’язуючи таку вправу, діти міркують так: 5*=6 – це рівність, праворуч від знака рівності якої стоїть число 6, а ліворуч також повинно бути 6. Оскільки 6 більше 5 на 1, то до 5 слід додати 1; 3) як зробити, щоб рівність стала правильною? 8=7  Розв’язуючи такі вправи, учні міркуватимуть так: 8=7  - це рівність, вона буде правильною, якщо праворуч і ліворуч від знака рівності буде стояти 8. 8 – це 7 і 1, отже, до 7 слід додати 1; 4) постав потрібний знак “=”, “<”, “>”: 3*4. При розв’язуванні таких вправ слід привчати учнів міркувати так: – це нерівність. 3 менше 4, бо число 3 при лічбі йде перед числом 4, отже, замість зірочки необхідно поставити знак <.

Види вправ на формування уміння порівнювати числа, числа і вирази:

1) завдання на порівняння множин предметів, серед яких можна виділити: а) порівняння множин предметів; б) ілюстрування предметними множинами даної нерівності 4>3; в) завдання на перехід від нерівності до рівності, наприклад: маємо 5<6, що треба зробити, щоб предметів стало порівну?; г) вправи на перехід від рівності до нерівності, наприклад: маємо 5=5, що треба зробити, щоб предметів ліворуч стало більше?; д) вправи на практичне засвоєння властивості симетричності рівності: якщо на столі чашок стільки ж, скільки блюдець, то блюдець стільки ж, скільки чашок; е) завдання на практичне засвоєння властивості антисиметричності нерівності: якщо на столі чашок більше, ніж блюдець, то блюдець менше, ніж чашок;

2) вправи на порівняння чисел, серед яких виділяють: а) завдання, при виконанні яких порівняння чисел відбувається на основі встановлення взаємно однозначної відповідності між елементами двох предметних множин, наприклад: за малюнком, визнач кількість предметів праворуч і ліворуч та порівняй їх; б) вправи на порівняння чисел на основі місця цього числа в натуральному ряді, наприклад: 7<9, бо число 7 при лічбі зустрічається раніше, ніж число 9; в) завдання на порівняння чисел на основі їхнього десяткового складу, яке відбувається в концентрах “Сотня”, “Тисяча”, “Багатоцифрові числа”.

3) завдання на порівняння іменованих чисел, серед яких виділяють: а) порівняння з опорою на самі задані величини, наприклад: на малюнку зображено два відрізки і задано значення їхніх довжин, а учні записують, що 7 см<9 см, міркуючи так: на малюнку видно, що відрізок довжиною 7 см коротший, ніж відрізок довжиною 9 см; б) порівняння іменованих чисел, які виражені в однакових одиницях вимірювання, наприклад: 1 дм 7 см > 1 дм 5 см;

4) вправи на порівняння виразу і числа або числа і виразу, серед яких виділяють: а) порівняння на основі операцій над множинами; б) порівняння на основі обчислення значення виразу, наприклад: 7>5+1, бо 5+1=6, а 7>6;

5) завдання на порівняння двох виразів, яке може відбуватися: а) на основі обчислення значень виразів, наприклад: 7+5>6+4, бо 7+5=12, 6+4=10, а 12>10; б) на основі міркувань, наприклад: 8+7<8+9, бо перші доданки однакові, а ліворуч другий доданок менший, ніж другий доданок праворуч 1.