10. Методика вивчення позатабличних випадків множення та ділення. Методика вивчення ділення з остачею.

Теоретико-методичні основи розгляду позатабличних випадків множення і ділення у концентрі “Сотня” (“Тисяча”).

Позатабличні випадки множення і ділення – це усні прийоми обчислень, теоретичною основою яких є властивості арифметичних дій:

1. Переставна властивість множення. а·в=в·а

2. Сполучний закон дії множення.

Правило множення добутку на число (а · в) · с = а · (в · с)

Правило множення числа на добуток а ·( в · с) = (а · в) · с

3. Розподільний закон.

Правило множення суми на число

(Правий дистрибутивний закон множення відносно додавання)

(а + в) · с = а · с + в · с

правило множення числа на суму

(лівий дистрибутивний закон множення)

а ·( в + с ) = а · в + а · с

4.Ділення числа на добуток.

а : (в · с) = а : в : с

5.Ділення добутку на число.

(а · в) : с = а : с · в = а · (в : с)

6.Ділення суми на число.

(а + в) : с = а : с + в : с

7. Множення добутку на добуток.

(а·в) · (с·d)=(а·с) · (в·d)

8. Ділення добутку на добуток.

(а·в):(с·d)=(а:с) · (в:d)

До позатабличних випадків множення і ділення у концентрі “Сотня” (“Тисяча”) відносяться:

1)випадки множення і ділення круглих чисел на одноцифрове число, наприклад: 303, 40:2 (2004, 900:3);

2)випадки ділення двоцифрового числа на двоцифрове число, наприклад, 54:18 (400:50). Тут розглядається така властивість дії: правило ділення числа на добуток;

3)випадки ділення круглого двоцифрового числа на кругле двоцифрове, наприклад: 60:30 (800:400);

4)випадки множення двоцифрового числа на одноцифрове та одноцифрового числа на двоцифрове, наприклад: 243, 328 (3602, 3320). Тут розглядаються такі властивості дій: правило множення суми на число та числа на суму, переставний закон множення;

5)випадки ділення двоцифрового числа на одноцифрове число, наприклад: 39:3, 72:3, 50:2 (690:3,810:3, 600:5). Тут розглядається ще й така властивість дії: правило ділення суми на число;

6)випадки ділення двоцифрового числа на двоцифрове, наприклад: 42:14 (125:25). Тут розглядається правила перевірки дій множення і ділення, спосіб випробування.

Ознайомлення з вказаними правилами проводиться перед введенням відповідних прийомів обчислень, бо вони є теоретичною основою цих прийомів.

1.Випадки множення і ділення круглих чисел на одноцифрове число, наприклад: 304, 40:2 (2004, 900:3), зводяться до табличного множення і ділення іменованих чисел:

30·4=120 2004=800

3 дес·4=12дес=120 2сот. 4=8сот.=800

40:2=20 900:3=300

4дес.:2=2дес. 9сот.:3=3сот.

2.Випадки ділення двоцифрового числа на двоцифрове число, наприклад, 54:18=54:(63) (400:50=400:(105)), теоретичною основою цих випадків ділення є правило ділення числа на добуток.

Розглянемо теоретико-методичні основи ознайомлення учнів з правилом ділення числа на добуток. Як відомо, ця робота включала в себе підготовку до вивчення властивості, ознайомлення з нею та її застосування до розкриття смислу відповідного прийому. Аналіз практики роботи вчителів новаторів свідчить, що провести роботу можна принаймні за двома варіантами. При першому вчитель, використовуючи бесіду, пояснює правило: як обчислити значення виразу 18:(23)? – знайти добуток 2 і 3 і обчислити частку 18:6=3. А чи є інші способи обчислення? – можна спочатку 18 поділити на перший множник 2, а потім одержаний результат поділити на другий множник 3, тобто 18:(23)=(18:2):3=9:3=3. Чи однакові результати ми отримали в обох випадках? – однакові. А чи є ще спосіб обчислень? – так. Можна спочатку поділити 18 на другий множник 3, а одержаний результат поділити на перший множник 2, тобто 18:(23)=(18:3):2=6:2=3. Чи такий самий результат ми отримали? – так. Як же можна поділити число на добуток? – є три способи: 1) спочатку знайти добуток, а потім поділити на нього число; 2) поділити спочатку число на перший множник, а одержаний результат поділити на другий множник; 3) спочатку поділити число на другий множник, а одержаний результат поділити на перший множник. Після цього пропонуємо учням прочитати записане у підручнику правило. Будемо використовувати той із способів, який найзручніший для кожного випадку. Використовуючи інший варіант пояснення, вчитель повинен підвести учнів до самостійного відкриття розглянутих прийомів. Для цього вчитель пропонує учням самостійно знайти три способи обчислення значення виразу 18:(23). З метою особистісної орієнтації навчального процесу деяким учням слід запропонувати допомогу у вигляді опорних схем: 18:()=18:=; 18:()=(18:):=; 18:()=(18:):=. Коли школярі знайдуть всі способи обчислень, їм пропонується сформулювати відповідне правило, а для закріплення вони прочитають його у підручнику.

Формування уміння виконувати ділення числа на дубуток відбувається при виконанні наступних вправ: 1) виконати обчислення різними способами і вказати найзручніший: 24:(32), 60:(32); 2) обчислити зручним способом і обгрунтувати свій вибір: 36:(29), 80:(82), 64:(82); 3) виконати ділення, розкладаючи дільник на множники: 72:18, 54:27.

3.Випадки ділення круглого двоцифрового числа на кругле двоцифрове, наприклад: 60:30 (800:400), теоретичною основою цього випадку ділення є: 1) правило ділення числа на добуток; 2) спосіб випробування.

Можна у відповідності з індивідуальними особливостями школярів запропонувати різні варіанти ознайомлення дітей з прийомом обчислень у випадках виду 60:30.

1спосіб: використовуючи правило ділення числа на добуток:

60:30=60:(103)=60:10:3=2

2спосіб: використовуючи спосіб випробування для обчислення значень виразів виду 60:30. Зробити це можна так: що означає поділити 60 на 30? – потрібно знайти таке число, яке у добутку з числом 30 дасть нам 60. Яке число перевіримо? – число 1.

301=30, отже, число 1 не підходить.

302=60, отже, число 2 підходить. Таким чином, 60:30=2.

4.Випадки множення двоцифрового числа на одноцифрове та одноцифрового числа на двоцифрове, наприклад: 243, 328 (3602, 3320), теоретичною основою цих випадків множення є правило множення суми на число, переставний закон множення та правило множення числа на суму.

Ці властивості розглядають на окремих уроках.

Правило множення числа на суму можна показати на прикладі такої задачі.

Задача: З однієї ділянки зібрали 12 мішків картоплі, з другої 14 мішків – по 4 відра у кожному мішку. Скільки відер всього картоплі зібрали?

І спосіб

1) 12+14=26(м.)

2) 4·26=104(в.)

4· (12+14)=4·26=104(в.)

ІІ спосіб

1)4·12=48(в.)

2)4·14=56(в.)

3)48+56=104(в.)

(4·12)+( 4·14)=104(в.)

На основі складається рівність:

4· (12+14)=(4·12)+(4·14)

Завершується ця робота формулюванням відповідного правила: 1 правило:щоб помножити число на суму можна: 1) знайти суму і число помножити на одержаний результат; 2) помножити число на кожний доданок суми і знайдені добутки додати.

Правило множення суми на число вводиться аналогічно на прикладі задачі. Завершується ця робота формулюванням відповідного правила: щоб помножити суму на число можна: 1) знайти суму і одержаний результат помножити на число; 2) помножити на це число кожний доданок і знайдені добутки додати.

Після такої підготовчої роботи проводиться ознайомлення учнів з прийомом обчислень для випадків виду: 243, 328.

2 43= 20+ 4		328= 20 + 8
203=60 43=12 60+12=72		320=60 38=24 60+24=84

5.Випадки ділення двоцифрового числа на одноцифрове число, наприклад: 39:3, 72:3, 50:2 (690:3,810:3, 600:5), теоретичною основою цих випадків ділення є правило ділення суми на число.

Це правило можна показати на прикладі такої задачі.

Задача. У хлопчика було 20 кольорових листівок і 16 чорно-білих. Він їх роздав 4 друзям порівну кожному. По скільки одержав кожен друг?

І спосіб

(20+16):4=36:4=9(л.)

ІІ спосіб

20:4+16:4=5+4=9(л.)

(20+16):4=20:4+16:4

Завершується ця робота формулюванням відповідного правила: щоб поділити суму на число, можна поділити на це число кожний доданок і знайдені частки додати.

Після такої роботи проводиться розгляд прийомів обчислень у випадку ділення двоцифрового числа на одноцифрове, наприклад: 39:3, 72:3, 50:2. Справа в тому, що у цих випадках використовується три різні варіанти обчислень:

1) розклад діленого на розрядні доданки з наступним використанням правила ділення суми на число, наприклад, 39:3=(30+9):3=30:3+9:3=10+3=13;

2) розклад діленого на суму зручних доданків, кожний з яких повинен ділитися на дільник, з наступним використанням того ж правила, наприклад, 72:3=(60+12):3=60:3+12:3=20+4=24;

3) ділене розкладається на суму двох круглих чисел, кожне з яких ділиться націло на дільник, а потім використовується правило ділення суми на число, наприклад, 50:2=(40+10):2=40:2+10:2=20+5=25.

Одним з варіантів ознайомлення учнів з цими прийомами обчислень може стати пояснення або обґрунтування прийому з допомогою структурних записів, які представлені у таблиці:

39:3= 30+9		72:3= 60+12		50:2= 40+10
30:3=10 9:3=3 10+3=13		60:3=20 12:3=4 20+4=24		40:2=20 10:2=5 20+5=25

6.Випадки ділення двоцифрового числа на двоцифрове, наприклад: 42:14 (125:25), теоретичною основою цих випадків ділення є правило перевірки дій множення і ділення та спосіб випробування.

Наприклад, М.Богданович, М.Козак, Я.Король пропонують для введення правила перевірки ділення множенням використати бесіду за наступною таблицею:

Ділене	Дільник	Частка	Добуток частки і дільника
48	6	8	86=48
36	9		9=36
27	3		=

Вчитель пропонує дітям знайти частку чисел 48 і 6, а потім запитує: чому дорівнює частка? – 8. Чому дорівнює дільник? – 6. Що одержимо, якщо помножимо частку на дільник? – ділене 48. Аналогічна робота проводиться з іншими прикладами. Ця робота завершується висновком: ділене дорівнює добутку частки і дільника. Якщо після множення частки на дільник не дістали ділене, то в обчисленні допущено помилку. Коли учні засвоять спосіб перевірки ділення множенням, вводиться прийом обчислення частки від ділення двоцифрового числа на двоцифрове, який спирається на зв’язок дій ділення і множення та на правило перевірки ділення множенням.

Аналіз методичної літератури, вивчення досвіду роботи вчителів дозволяють зробити висновок про необхідність розпочинати ознайомлення учнів з прийомом позатабличного ділення на двоцифрове число з розгляду прикладів, які у частці дають числа 2 або 3. Це пояснюється тим, що для знаходження частки у таких випадках вимагається лише одна чи дві проби, а тому учням краще усвідомити сутність прийому, наприклад: 51:17, 72:24 тощо. Враховуючи сказане, роботу з ознайомлення школярів з цим прийомом можна провести так: ми розглянули різні випадки множення і ділення, але ще не вміємо ділити двоцифрове число на двоцифрове. Разом з тим, ми вивчили зв’язок між діями множення і ділення та навчилися перевіряти ділення множенням. Спробуємо знайти прийом обчислень для випадків виду 42:14. У таких випадках частку шукають способом, який має назву способу випробувань. Використовуючи його, добирають числа і перевіряють чи підходить воно на основі правила перевірки ділення множенням, тобто множать число на дільник.

42:14=
Спочатку спробуємо перевірити число 2.	142=28, а тому число 2 не підходить
Перевіримо число 3.	143=42, отже, число 3 підходить і частка чисел 42 і 14 дорівнює 3

Після цього корисно провести таку роботу: чому ми не перевіряли числа 1? – бо 141=14. Чи обов’язково розпочинати перевірку з числа 2? – ні. А чи не може хтось підказати, як раціоналізувати знаходження частки? – якщо учні не скажуть, то вчитель повідомить: щоб раціоналізувати знаходження частки, слід подумати: при множенні на яке число остання цифра дільника дає нам останню цифру діленого. Наприклад, у нашому прикладі, щоб одержати останньою цифрою добутку 2, потрібно 4 множити на 3 чи на 8. Оскільки 8 не підходить, бо 148 більше ніж 80, то перевіряти слід 3. Спостереження за роботою учнів свідчить, що вони з труднощами оволодівають цим прийомом, а тому він вимагатиме виконання значної кількості вправ з коментуванням, які допоможуть усвідомити його сутність.

Основним засобом закріплення розглянутих випадків позатабличного множення і ділення є обчислення значень виразів на одну чи дві дії. Успіху досягти можна буде лише тоді, коли відбувається збільшення обсягу самостійних і творчих завдань. Вони повинні стимулювати розвиток активності, пошукову діяльність. Надзвичайно важливо щоб використовувалися вправи, спрямовані на узагальнення знань, умінь і навичок.

Теоретико-методичні основи вивчення ділення з остачею.

Після вивчення прийомів ділення націло розглядається ділення з остачею в концентрі “Тисяча” (3 клас). На формування в учнів конкретного смислу дії ділення з остачею відводиться 2-3 уроки.

Підготовчий етап

Розглядається ряд чисел і показується, що вони не всі діляться націло:

Наприклад:

• Підкресліть числа, які діляться на 2: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

• Практичне розв’язання задач із ділення предметних множин, при чому ділення на вміщення: Наприклад: 1) візьміть 8 кружечків і розкладіть їх по 2 у рядок; 2) візьміть 9 кружечків і розкладіть їх по 2 у рядок.

Ознайомлення з діленням з остачею.

На основі дій з предметними множинами та розгляду ілюстрацій підручника переходять до другого етапу.

Задача: 16 троянд розклали у вази по 5шт. Скільки використали ваз?

/ / / / / / / / / / / / / / / /

І ваза ІІ ваза ІІІ ваза

Використали 3 вази і 1 троянда залишилася. В математиці записують за допомогою нової арифметичної дії: дії ділення з остачею так:

16:5=3(ост.1)

Числа при діленні з остачею називаються: 16 –ділене, 5 – дільник, 3 – частка, 1 – остача.

2 7:6=

Зразок міркування: нехай треба поділити 27 на 6. Знайдемо найбільше з чисел від1 до 27, яке ділиться на 6. Це 24; 24:6=4. Знайдемо остачу: 27-24=3. Отже, 27:6=4(ост.3).

Формування уявлень про дію ділення з остачею.

1. Після розкриття змісту ділення розглядаються пари прикладів, у яких перший приклад є ділення націло, а другий – ділення з остачею:

24:6=4

25:6=4(ост.1)

42:7=6

45:7=6(ост.3)

2. З’ясовують якою може бути остача.

При діленні на число п найбільше може бути остача п-1.

Висновок: остача повинна бути менша від дільника.

3.Перевірка дії ділення з остачею.

29:8=3(ост.5)

Щоб перевірити дію ділення з остачею: необхідно частку помножити на дільник і додати остачу. Якщо отримаємо ділене, то дія виконана правильно.

Вміння виконувати дію ділення з остачею є підготовкою до письмового ділення на одноцифрове, двоцифрове число.