4. Аналітичний спосіб визначення рівнодійної системи збіжних сил

Нехай дано систему збіжних сил , , - Треба визначити рівнодійну силу (мал. 2.8,а). Побудуємо на даних силах силовий багатокутник, тобто знайдемо рівнодійну графічним методом (мал. 2.8,6).

Мал. 2.8.

Проведемо дві взаємно перпендикулярні осі ОХ та ОУ і спроектуємо на ці осі рівнодійну силу та всі сили системи , , (мал. 2.8,б). У результаті виконаної побудови маємо

•

Проекція рівнодійної сили на вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій складових сил на ту саму вісь.

Для будь-якого числа складових сил

Визначимо модуль рівнодійної сили з формули (2.4):

6. Аналітична умова рівноваги системи збіжних сил (рівняння рівноваги)

Якщо система сил взаємно зрівноважується, то рівнодійна дорівнює нулю.

(для рівноваги). Це виконується, якщо

_{рівняння рівноваги системи збіжних сил}

Для рівноваги плоскої системи збіжних сил потрібно і досить, щоб алгебраїчні суми проекцій всіх сил системи на дві взаємно перпендикулярні осі дорівнювали нулю.

Основні рекомендації до розв’язання задач на рівновагу системи збіжних сил твердого тіла :

1. Вибрати тіло (точку), рівновагу якого необхідно розглянути.

2. Звільнити тіло (точку) від зв’язків і зобразити активні сили, які діють на нього та реакції відкинутих зв’язків.

3. Обрати вісі координат Х та У і скласти рівняння рівноваги, використовуючи умову рівноваги системи збіжних сил на площині: Обираючи вісі координат, необхідно враховувати, що отримані рівняння рівноваги будуть розв’язуватись простіше, якщо одну з осей спрямувати перпендикулярно до однієї з невідомих сил.

4. Розв’язати систему отриманих рівнянь рівноваги і визначити невідомі величини

О

Приклад 1.

днорідна куля вагою , що дотикається до гладенької вертикальної стінки, утримується в рівновазі мотузкою (рис. 2.9). Визначити натяг мотузки і тиск кулі на стінку, якщо мотузка із стіною утворює кут .

Рис. 2.9

Розв’язання. Оскільки відома сила прикладена до кулі, то розглянемо рівновагу кулі. В’язами для кулі є стінка і мотузка. Оскільки стінка гладенька, то реакція буде перпендикулярна до стінки; реакція мотузки має бути спрямована вздовж мотузки до точки підвісу .

Відкидаємо в’язі та замінюємо їхню дію реакціями. Якщо визначимо реакції і , то тим самим знайдемо тиск кулі на стіну й натяг мотузки (це сили протидії й вони напрямлені в бік, протилежний реакціям і ).

Оскільки сили , і задовольняють теорему про три сили, то для рівноваги кулі необхідно і достатньо, щоб силовий трикутник був замкненим, тобто виконувалась геометрична умова рівноваги збіжних сил.

Для побудови трикутника вибираємо довільну точку і відкладаємо в певному масштабі силу . Із її кінця проводимо лінію, що рівнобіжна до лінії дії однієї з реакцій, наприклад . Із умови замкненості силового трикутника кінець сили має прийти в точку . Тому проводимо з лінію, що рівнобіжна силі . Точка перетину двох ліній єдиним чином визначає величини сил і .

Для запису умов рівноваги збіжних сил в аналітичній формі обираємо систему координат .

Записуємо систему алгебраїчних рівнянь:

; ; . (1)

; ; . (2)

З рівняння (2) знаходимо

З рівняння (1) знаходимо

Перевіркою рішення є порівняння результатів, що отримані двома способами.

Відповідь: куля тисне на стінку з силою , і розтягує мотузку з силою: