15. Критерий пирсона

15.1. Основы проверки гипотезы о нормальном распределении

Для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности (случайной величины Х) традиционно используется критерий Пирсона.

Проще всего сравнить экспериментальные интервальные частоты, полученные на основе группировки выборки (разд. 11) и теоретические частоты нормально распределенной случайной величины, полученные для выборки того же объема с теми же самыми интервалами группировки. Эти данные сводятся в таблицу:

			. . . . .
			. . . . .
			. . . . .

Вычисляется выборочное значение критерия

. (15.1)

Правило проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности состоит в следующем. Назначается или выбирается уровень значимости α. Это величина, связанная с надежностью проверки статистической гипотезы. Можно считать, что меньшее значение α соответствует большему уровню надежности.

Находят число степеней свободы k. Обычно k = s – 3. Действительно, число интервалов надо уменьшить на 3 связи. Одна из них – условие нормировки – объем выборки. Две другие связи означают, что математическое ожидание и средне квадратическое отклонение (необходимые параметры нормального распределения) оцениваются на основании данных той же выборки. Без знания этих оценок невозможно найти теоретические значения интервальных частот .

На основании значений α и k по таблице распределения находят значение , где β = 1 – α. Если

, (15.2)

то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается на уровне значимости α. В противном случае гипотеза отвергается.

15.2. Пример решения типового задания по теме «Критерий Пирсона»

Задание № 15. На уровне значимости α = 0,05 установить по критерию Пирсона случайность или значимость расхождения между экспериментальными и теоретическими частотами нормального распределения.

	8	9	20	10	3
	6	14	18	7	5

Решение. Проверим условие нормировки

.

Значит, объем выборки n = 50. Проверим условие нормировки для теоретических интервальных частот:

.

Таким образом, экспериментальная и нормально распределенная выборки имеют одинаковый объем и можно проводить проверку по критерию Пирсона.

Найдем выборочное значение критерия по формуле (15.1):

= 4,77.

Определим значения параметров проверки. α = 0,05, значит

β = 1 – α = 1 – 0,05 = 0,95.

Число интервалов s = 5. Значит, число степеней свободы

k = s – 3 = 5 – 3 = 2.

По таблице прил. 3 находим значение критерия Пирсона

.

Согласно правилу проверки гипотезы на основании критерия Пирсона (15.2) получаем: 4,77 < 5,99.

Таким образом, правило проверки (15.2) выполняется. Это означает, что расхождения между экспериментальными и теоретическими данными носит случайный характер. Следовательно, на уровне значимости 0,05 можно принять гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности (исследуемой случайной величины Х).