16. Корреляционный анализ 相关分析

16.1. Основы корреляционного анализа

Для того чтобы установить факт наличия зависимости между случайными величинами используют корреляционный анализ. С его помощью можно диагностировать только простейший вид зависимости – линейную корреляционную связь между величинами. Корреляционный анализ основан на исследовании величины выборочного коэффициента корреляции. 相关分析是研究现象之间是否存在魔种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。

Пусть дана двумерная выборка

Х			.....
У			.....

Найдем числовые характеристики выборки:

1. Выборочные средние ,

, (16.1)

, (16.2)

2. Выборочные дисперсии :

, (16.3)

, (16.4)

3. Выборочные отклонения :

, (16.5)

, (16.6)

4. Корреляционный момент (ковариацию) :

, (16.7)

5. Выборочный коэффициент корреляции :

. (16.8)

Степени корреляции сведены в табл. 16.1.

Таблица 16.1.

Степени корреляции

	Степень корреляционной связи
0	Корреляционная связь отсутствует
( 0 ÷ 0,3 )	Несущественная корреляционная связь
[ 0,3 ÷ 0,5 )	Слабая корреляционная связь
[ 0,5 ÷ 0,7 )	Существенная корреляционная связь
[ 0,7 ÷ 1 )	Сильная корреляционная связь
1	Функциональная связь (не вероятностная)

Эта классификация не является общепризнанной, но вполне пригодна для использования. Другие источники именуют существенную степень корреляционной связи средней или умеренной, сильную – высокой. Принадлежность пограничных значений (кроме 0 и 1) к определенной градации степени корреляции также разнится среди источников.

Кроме того, при корреляционная связь называется положительной или прямой, при – отрицательной или обратной.

Следует отметить, что полный вывод об отсутствии или наличии корреляционной связи между величинами и ее степени можно сделать лишь на основании проверки соответствующей гипотезы, принимающей во внимание объем двумерной выборки.

16.2. Пример решения типового задания по теме «Корреляционный анализ»

Задание № 16. Найти коэффициент корреляции по двумерной выборке и сделать вывод о наличии корреляционной связи между Х и У и ее степени.

Х	1	2	3	4	5
У	10	8	6	2	0

Решение. Найдем выборочные средние по формулам (16.1) и (16.2):

;

.

Найдем выборочные дисперсии по формулам (16.3) и (16.4):

;

.

Найдем выборочные отклонения по формулам (16.5) и (16.6):

, .

Внимание: рекомендуется вычислять выборочные отклонения с точностью, по крайней мере, до третьего знака включительно. Это связано с необходимостью обеспечить высокую точность вычисления коэффициента корреляции при его значениях, близких к 1 (или к 0).

Найдем выборочный корреляционный момент по формуле (16.7):

.

Найдем выборочный коэффициент корреляции по формуле (16.8):

.

Вывод: между случайными величинами Х и У наблюдается сильная отрицательная корреляционная связь. Еще раз повторим, что окончательное заключение можно сделать лишь на основании проверки гипотезы о наличии корреляционной связи, принимая во внимание объем двумерной выборки.