3 .2. Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы
Дана матрица
.
Столбец
можно линейно выразить через остальные столбцы матрицы
.
Это значит, что существуют такие
числа
,
что
.
Действительно,
,
т.к.
,
или
.
Рассмотрим матрицу типа
.
О
пределение.
Если некоторый
столбец матрицы
можно представить в виде суммы
других столбцов,
умноженных соответственно на числа
,
то его называют
линейной
комбинацией
указанных
столбцов.
Н
апример,
если
столбец матрицы
является линейной
комбинацией остальных
её столбцов, то это означает,
что существуют числа
,
для которых
.
О
пределение.
Столбцы матрицы
называются линейно
зависимыми, если существуют
такие числа
,
не равные одновременно
нулю,
что линейная комбинация
столбцов
равна
нулевому
столбцу:
. (3.1)
Если линейная комбинация
столбцов
(3.1) равна
нулю
тогда и только
тогда, когда
все коэффициенты
равны
нулю,
т.е.
,
то столбцы, называются линейно независимыми.
Аналогичным образом можно ввести понятия линейной зависимости и линейной независимости между строками матрицы.
3.3. Базисные миноры. О пределение. Базисным минором матрицы называется отличный от нуля её минор, порядок которого равен рангу матрицы.
Для ненулевой матрицы существует базисный минор; отметим, что он может оказаться не единственным.
Строки и столбцы матрицы, которым принадлежат элементы базисного минора, называются базисными.
Теорема 3.1 (теорема о базисном миноре).
1. Базисные строки (столбцы) линейно независимы.
2. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией её базисных строк (столбцов).
▲ Предположим, что базисный минор матрицы
.
в её верхнем левом углу, т.е.
строках матрицы
и первых
столбцах.
Такое предположение не уменьшает общности рассуждения.
Пусть
– номер любой строки
матрицы
(
может принимать значения от 1
до
),
а
– номер любого её столбца
(
может принимать значения от 1
до
).
Рассмотрим следующий минор матрицы :
. (3.2)
Если
,
то
,
т.к. в нём имеются две
одинаковые строки.
Аналогично
и
.
Пусть
и
.
В этом случае
из определения ранга
матрицы, ибо определитель
есть минор
порядка, а все
такие миноры
матрицы
равны нулю.
Таким образом, при
любых значениях
.
Разложив определитель по элементам последнего столбца, получим
, (3.3)
где
– алгебраическое
дополнение элемента
в определителе
(3.2).
Алгебраическое дополнение совпадает с базисным минором матрицы и, следовательно, отлично от нуля.
Поэтому равенство (3.3) можно записать в виде
или
,
где
.
Придавая значения от 1 до , получим:
(3.4)
Равенства
(3.4) показывают,
что
строка
матрицы
является
линейной
комбинацией
первых
строк
с коэффициентами
.
Т.к. эти равенства справедливы при любом от 1 до , то теорема доказана полностью. ▼
Основываясь на теореме о базисном миноре, докажем справедливость следующих предложений.
Предложение 3.1. Ранг матрицы не изменится, если к ней приписать строку, являющуюся линейной комбинацией строк матрицы.
▲ В самом деле, базисные строки исходной матрицы будут также базисными строками в дополненной матрице, т.к. строку из линейной комбинации всех строк исходной матрицы можно представить как линейную комбинацию базисных строк. ▼
Предложение 3.2. Ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть из неё строку, являющуюся линейной комбинацией остальных строк матрицы.
▲ Исходная матрица получается из матрицы с вычеркнутой строкой путем добавления строки, являющейся линейной комбинацией строк матрицы .
Таким образом, предложение 2 сводится к предложению 1. ▼