Дополнение Матрицы элементарных преобразований

С элементарными преобразованиями тесно связаны квадратные матрицы – матрицы элементарных преобразований, получивших название элементарных операторов.

Все они представляют собой квадратные матрицы, построенные на основе единичной матрицы.

Если любую из них умножить на какую-либо другую матрицу, то в результате соответствующих операций со строками (или столбцами) получим преобразования, аналогичные тем, которые применялись при упрощении определителя.

При этом произведение матриц имеет тот же ранг, что и исходная матрица.

Рассмотрим следующие элементарные операторы.

1. – единичная матрица , в которой лишь переставлены строки .

Н апример, .

В результате умножения матрицы слева на строки матрицы меняются местами.

Н апример, .

2. – единичная диагональная матрица , у которой диагональный элемент равен не единице, а .

В результате умножения матрицы слева на строка матрицы оказывается умноженной на число :

3. – это единичная матрица , в которой вместо нуля в строке и столбце записано число .

Если умножить матрицу слева на , то в результате строка матрицы оказывается прибавленной раз к строке той же матрицы.

.

Таким образом, мы рассмотрели, что даёт умножение матрицы слева на элементарные операторы.

Умножение на элементарные операторы справа приводит к тем же результатам, что и умножение слева, только изменения происходят со столбцами матрицы ; теперь будет предполагать те же действия над элементами столбца матрицы , что и применительно к строкам матрицы .

Записав, элементарные операторы в общей форме, можно убедиться в том, что .

Определитель произведения матриц равен произведению определителей соответствующих матриц, поэтому в тех случаях, когда матрица квадратная, умножение на элементарные операторы приводит к следующим результатам:

.

3.5. Определитель произведения матриц

Если – две квадратные матрицы порядка, то их произведение также является квадратной матрицей порядка.

Как связаны между собой определители и этих трех матриц?

Теорема 3.3. Определитель произведения двух квадратных матриц порядка равен произведению определителей перемножаемых матриц:

. (3.5)

▲ Докажем теорему для матриц второго порядка.

Если

,

то

B
A					AB

Итак,

.

Используя свойства определителей, получаем

.

Итак,

,

. ▼

З амечание. Теорема верна для произведения матриц .

П ример.

;

;

.

Дополнение Определитель произведения прямоугольных матриц

Пусть матрица типа ,

а матрица типа с .

Если

,

то есть определитель порядка .

Покажем, как выразить определитель через определители порядка , которые можно образовать из матриц .

Можно доказать, что

• если дана матрица и матрица

• то определитель может быть представлен как сумма