Алгоритм вычисления обратной матрицы
Чтобы найти матрицу обратную матрице , нужно выполнить следующие операции:
1. Найти
определитель матрицы
.
Если , то матрица вырожденная и обратной матрицы не существует.
Если , то матрица невырожденная и обратная матрица существует.
2. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы
,
и составить из них матрицу.
3. Транспонировать матрицу из алгебраических дополнений и получить присоединенную матрицу .
4. Вычислить обратную матрицу по формуле (3.10).
5. Проверить правильность вычисления обратной матрицы , исходя из определения
(пункт 5 не обязателен).
П
ример.
Выяснить,
имеет ли
обратную матрицу
матрица
.
▲
Т.к. 
,
то данная матрица не имеет обратной матрицы. ▼
П
ример.
Найти
матрицу,
обратную
матрице
.
▲ 1. Вычислим определитель данной матрицы
.
Т.к. , то матрица имеет обратную матрицу.
2. Составим матрицу из алгебраических дополнений
3. Получим присоединенную
матрицу
.
4. Вычисляем обратную матрицу по формуле (3.10)
.
5. Проверим правильность вычислений обратной матрицы,
т.е., что
.
Действительно,
|
–2.5 |
1.5 |
|
||
2 |
–1 |
|
|||
A |
2 |
3 |
1 |
0 |
. ▼ |
4 |
5 |
0 |
1 |
||
П
ример.
Найти
матрицу,
обратную
матрице
.
▲
1.
Вычислим определитель
данной матрицы
.
Т.к. , то матрица имеет обратную матрицу.
2. Найдем алгебраические дополнения матрицы и составим из них матрицу
3. Составляем присоединенную
матрицу
.
4. Вычисляем обратную матрицу
.
5. В правильности вычисления обратной матрицы рекомендуем убедиться самому читателю.▼
Нахождение обратной матрицы называется обращением данной матрицы.
Если порядок матрицы большой, то указанный метод обращения матрицы требует сложной вычислительной работы.
Существуют другие методы обращения матрицы, которые в данном пособии не рассматриваются.
Свойства обратной матрицы
Если
есть квадратная
невырожденная матрица, то
обратная к ней матрица
обладает следующими свойствами.
1. Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя матрицы
.
2.
Обратной матрицей
к матрице
будет матрица
;
3. Обратная матрица к транспонированной матрице равна транспонированной обратной матрице:
.
4. Матрица, обратная к произведению матриц, равна произведению обратных матриц, взятых в обратном порядке при условии, что обратные матрицы существуют.
Если существуют
и
,
то
.
Резюме
Введено понятие ранга матрицы, рассмотрены очевидные свойства ранга матрицы и способы вычисления ранга матрицы.
Введено понятие линейной зависимости строк (столбцов) матрицы, базисного минора матрицы, эквивалентные преобразования матрицы.
Для квадратной матрицы введено понятие обратной матрицы, сформулированы теоремы о существовании и единственности обратной матрицы.
Рассмотрены способы вычисления обратной матрицы.