Членов.

Каждый член представляет собой произведение двух определителей порядка , образованных из матриц соответственно.

Каждый определитель порядка , образованный из столбцов с номерами матрицы , умножается на определитель, образованный строками с номерами матрицы .

П ример. .

.

Однако определитель может быть выражен как сумма трех членов, каждый из которых представляет собой произведение определителя 2-го порядка из матрицы и определителя 2-го порядка из матрицы .

Имеем три пары определителей, которые могут быть образованы из матриц соответственно:

• из столбцов с номерами 1 и 2 матрицы и из строк с номерами 1 и 2 матрицы

;

• из столбцов с номерами 1 и 3 матрицы и из строк с номерами 1 и 3 матрицы

;

• из столбцов с номерами 2 и 3 матрицы и из строк с номерами 2 и 3 матрицы

.

Отсюда

,

т.е. результаты, конечно, являются идентичными.

3.6. Обратная матрица

Мы уже имели дело с такими арифметическими действиями,

• как сложение, вычитание и умножение матриц;

• однако о делении ничего не было сказано.

В матричной алгебре деления в обычном смысле этого слова не существует.

Операция деления на матрицу заменяется операцией умножения на матрицу, обратную к матрице .

Как известно, для каждого числа существует такое число , что .

Число называется обратным для числа .

Если мы зафиксируем натуральное число , и будем рассматривать квадратные матрицы порядка, то в этом множестве матриц единичная матрица будет играть роль единицы.

Естественно поставить вопрос о существовании обратной матрицы, т.е. такой матрицы, которая в произведении с данной матрицей дает единичную матрицу.

О пределение. Квадратная матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если она, будучи умноженной как справа, так и слева на матрицу , даёт единичную матрицу , т.е. если

(3.6)

Из определения следует, что обратная матрица может существовать

• только для квадратной матрицы и, что

• обе матрицы имеют один и тот же порядок.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка:

. (3.7)

Матрицей, присоединенной к матрице , называется матрица

. (3.8)

где – алгебраическое дополнение элемента матрицы (3.7).

Отметим, что алгебраические дополнения элементов строки матрицы расположены в столбце матрицы .

Теорема 3.4. Если – квадратная матрица порядка , a – присоединенная к ней матрица, то

, (3.9)

где – единичная матрица порядка.

▲ Обозначим произведение матриц (3.7) и (3.8) буквой , т.е.

A

Элемент матрицы равен сумме произведений элементов строки матрицы на соответствующие элементы столбца матрицы , присоединенной к матрице .

Для элементов , принадлежащих главной диагонали, эта сумма равна определителю матрицы (по теореме о разложении определителя по элементам любой строки);

для всех остальных элементов она равна нулю (по теореме аннулирования).

Следовательно,

.

Аналогично доказывается, что . ▼

Теорема 3.5. (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля, т.е. матрица невырожденная.

▲ Необходимость.

Пусть матрица имеет обратную матрицу .

Тогда по определению ,

Откуда .

Поскольку ( теорему 3.3), то .

Следовательно, и .

Достаточность.

Пусть дана матрица (3.7), для которой .

Из равенства (3.9) получаем

или .

Принимая во внимание равенства (3.6), заключаем, что матрица

является обратной матрице , т.е. .

Учитывая формулу (3.8), получаем

. (3.10)

Итак, в данном случае обратная матрица существует и определяется формулой (3.10). ▼

Теорема 3.6 (единственности). Невырожденная квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу.

▲ Предположим, что невырожденная квадратная матрица имеет две обратные матрицы и .

Тогда .

Умножив первое из этих равенств , получим

.

Поскольку , то . ▼