4.4 Взаємне положення двох площин

Д ві площини у просторі можуть бути паралельними або перетинними. У першому випадку вони не мають спільних точок, у другому спільними точками цих площин є лінія їх перетину (пряма, спільна для обох площин).

Р

Рисунок 4.11 – Паралельні площини

В просторі

озглянемо випадок взаємної паралельності площин. Для цього скористаємося відомими положеннями про те, що дві площини паралельні тоді, коли перетинні прямі однієї площини відповідно паралельні двом перетинним прямим другої площини (рис.4.11). У площині  дві прямі АВ і ВС перетинаються і паралельні відповідно А₁В₁ і В₁С₁ двом перетинним прямим площини .

Н а рисунках 4.12, 4.13 також зображені дві паралельні площини  і , які задані слідами.

l₁

Рисунок 4.12 – Паралельні площини на наглядному зображені

Рисунок 4.13 – Паралельні площини на епюрі

Напрошується висновок 1: якщо площини паралельні, то їх однойменні сліди також паралельні. Справедливим буде і обернене твердження (рис.4.13).

Виходячи з того, що сліди площини є нульовими горизонталями, фронталями і профілями, справедливий також висновок 2: у паралельних площинах горизонталі, фронталі і профілі однієї площини паралельні відповідно до горизонталей, фронталей і профілей другої площини.

С

Рисунок 4.14 – Перетинні площини

лід зауважити, що для площин довільного положення, заданих слідами, достатньо лише паралельності двох слідів на епюрі, щоб стверджувати – ці площини паралельні. Але, якщо це дві площини особливого положення (зокрема профільно-проеціююючі), то судити про паралельність площин за двома парами слідів не можна (рис. 4.14). Обов’язково треба побудувати сліди площини на третій площині проекцій, до якої задані дві площини перпендикулярні, і тільки тоді можна стверджувати чи паралельні площини: якщо ₃║Δ₃ ─ то вони паралельні; якщо ₃Δ₃ ─ то вони перетинаються.

Отже, якщо хоч одна пара однойменних слідів двох площин перетинаються, то і ці площини перетинаються.

Задача 1. Побудувати площину через точку А паралельно до площини  (площину задати слідами). Графічна умова задачі зображена на рисунку 4.15а.

Ч ерез точку А проводимо горизонталь площини Δ (яку треба побудувати). h₂║ОХ, а h₁║₁. Знаходимо фронтальний слід побудованої горизонталі N (N₂;N₁). Через фронтальний слід горизонталі NN₂ проводимо фронтальний слід Δ₂ площини Δ. Δ₂║₂ через N₂. Знаходимо точку сходу слідів Δ_Х . Δ₂ ОХ= Δ_Х. Будуємо горизонтальний слід площини Δ. Δ₁║₁ (висновок1). Отже площини Δ і  - паралельні.

а)

б)

в)

г)

Рисунок 4.15

Задача 2. Через точку D побудувати площину, паралельну до площини трикутника АВС.

С

Рисунок 4.16

користаємося положенням: якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини, паралельні двом перетинним прямим другої площини, то такі площини паралельні. Проведемо через точку D дві прямі паралельно до двох сторін трикутника і одержимо площину, паралельну до трикутника (рис. 4.16).

Розглянемо перетинні площини. Дві площини перетинаються по прямій лінії, для побудови якої досить визначити дві точки, що одночасно належать обом площинам, або одну таку точку і напрямок прямої перетину.

Якщо площини задані слідами, то лінія перетину визначається точками перетину однойменних слідів площин.

На рисунку 4.17 задано площини Δ і , однойменні сліди яких перетинаються в точках M i N. Очевидно, що ці точки будуть спільними для обох площин, тобто пряма MN (l) буде лінією перетину заданих площин. Для побудови проекцій лінії перетину l визначаємо проекції точок M i N і сполучаємо їх одноіменні проекції. Отже, пряма l(l₂, l₁) є лінією перетину площин Δ і . Залежно від розміщення слідів двох площин, що перетинаються, можливі різні способи побудови ліній їх перетину на епюрі:

1. дві площини, однойменні сліди яких перетинаються в межах формату ─ лінію перетину відображають без особливих додаткових побудов (рис.4.17);

2. дві площини, у яких тільки одна пара слідів перетинається в межах формату, а друга не перетинається (паралельні) (рис.4.18);

3. о днойменні сліди двох площин не перетинаються в межах формату (рис. 4.20).

Рисунок 4.17 – Перетин площин загального положення

Рисунок 4.18 – Перетин площин, у яких одна пара слідів паралельна

Задача 3. Побудувати лінію перетину двох площин  і  (рис.4.19).

З

Рисунок 4.19

гідно з умовою фронтальні сліди заданих площин паралельні, а отже, фронтальна проекція лінії перетину буде проходити паралельно ₂ і ₂ з точки перетину горизонтальних слідів – М₂. Ця лінія буде слугувати для заданих площин фронталлю.

Задача 4. Побудувати лінію перетину двох площин  і  (рис.4.20).

У

Рисунок 4.20

даній задачі легко знаходиться одна точка лінії перетину. Вона лежить на перетині горизонтальних слідів площини М(М₁;М₂). Друга пара слідів перетинається за межами формату, тому треба знайти напрямок лінії перетину, тобто знайти іншу, довільну точку прямої перетину, спільну для обох площин. Скористаємося методом допоміжних січних площин-посередників. Обираємо площину-посередник, розташовану в просторі так, щоб ця допоміжна площина перетинала обидві задані площини по лініях, які легко будуються – горизонталях або фронталях.

У даному випадку вибираємо горизонтальну площину , яка перетинає задані площини  і  по горизонталях h(h₂;h₁) i h( h₂; h₁). На перетині цих горизонталей дістанемо спільну для заданих площин допоміжну точку К(К₁;К₂)  h₁ і h₁ перетинаються в К₁. На лінії проекційного зв’язку на h₂₌h₂ знаходимо К₂.

З ’єднавши К₂ з М₂ і К₁ з М_1, знайдемо шукану лінію перетину двох площин  і .

Задача 5. Побудувати лінію перетину двох площин  і , які задано на рисунку 4.21.

План розв’язку задачі:

1. З

   а)

   б)

   найти точку перетину фронтальних слідів площин  і  (рис.4.21б).

2. Знайти точку перетину горизонтальних слідів площин  і  (перетин їх у другій чверті) (рис. 4.21в).

3. Побудувати лінію перетину двох площин, з’єднавши M₂ і N₂ та M₁ і N₁ з урахуванням видимості прямої (рис.4.21г).

в)

г)

Рисунок 4.21