1) Одна проведена через перпендикуляр до іншої;

2) Одна перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у другій площині.

Отже, побудова площини, перпендикулярної до заданої, зводиться до проведення спочатку перпендикуляра до однієї з цих площин, а потім – до побудови площини через цей перпендикуляр або проведення в одній із площин прямої лінії й побудови другої площини, перпендикулярної до цієї прямої.

Задача 5. Побудувати площину Σ, перпендикулярну до заданої площини Δ (рис.4.40).

Б удуємо перпендикуляр l до площини Δ. Для цього проводимо l₁Δ₁ і l₂Δ₂ Через перпендикуляр l проводимо площину Σ (у даному випадку горизонтально-проекційну). Оскільки через перпендикуляр l можна провести безліч площин, то шукана площина Σ є однією з них.

Рисунок 4.40

Рисунок 4.41

Задача 6. Побудувати площину , перпендикулярну до площини  (рис.4.41).

У заданій площині  будуємо довільну пряму l, перпендикулярно до якої проводимо площину  - одну із безлічі можливих. Площини  і  взаємно перпендикулярні. Наведені приклади підтверджують положення, що в обох випадках задачі мають безліч розв’язків. Тому, щоб дістати єдиний розв’язок, потрібна додаткова умова.

Задача 7. Через задану точку D провести фронтально-проекційну площину , перпендикулярно до площини трикутника АВС (рис.4.42).

Д

Рисунок 4.42

одатковою умовою в цій задачі є перпендикулярність шуканої площини до площини трикутника АВС і фронтальної площини проекцій. Тому спочатку у заданій площині проводимо фронталь f(f₁;f₂), до якої будуємо перпендикулярну площину : ₂f₂ i, очевидно, ₁f₁. Таким чином, площина  перпендикулярна до заданої, бо вона перпендикулярна до однієї з її фронталей, і проходить через точку D.

Якщо йдеться про зображення на епюрі двох взаємно перпендикулярних площин, слід мати на увазі, що:

1. О днойменні сліди двічі проекційних площин взаємно-перпендикулярні на тій площині проекцій, до якої обидві задані площини перпендикулярні (рис.4.43);

Рисунок 4.43

2. О днойменні сліди проекційних площин взаємно перпендикулярні лише на тій площині проекцій, до якої обидві задані площини перпендикулярні, інші сліди – ні (рис.4.44);

Рисунок 4.44

3. Якщо дві площини довільного положення на епюрі мають перпендикулярні однойменні сліди, то це ще не є ознакою перпендикулярності цих площин.

Дві перетинні прямі, кут між якими дорівнює 90, це – взаємно перпендикулярні прямі. Розглянемо питання про побудову зображення двох перпендикулярних прямих. Для цього користуються відомими положеннями про те, що дві прямі перпендикулярні одна до одної тільки тоді, коли через одну з них можна провести площину, перпендикулярну до іншої.

Т

Рисунок 4.45

ому, щоб побудувати пряму k перпендикулярно до заданої прямої l, (рис.4.45). треба взяти довільну точку А поза прямою l і через цю точку провести допоміжну площину , перпендикулярну до прямої l. Потім слід побудувати точку В перетину прямої l з площиною  за допомогою лінії перетину t площини  і допоміжної площини . Сполучивши точки В і А, дістанемо шукану пряму k, перпендикулярну до заданої прямої l.

Задача 8. Визначити відстань від заданої точки А до прямої загального положення l (рис.4.46).

В ідстань від точки до прямої вимірюється відрізком перпендикуляра, опущеного з точки на пряму. Для побудови через точку А проводимо допоміжну, перпендикулярну до прямої l, площину . Задаємо її двома прямими, що перетинаються в точці А, а саме горизонталлю і фронталлю. Оскільки площина має бути перпендикулярною до прямої l, то h₁l₁, а f₂l₂. Далі знаходимо точку К(К₂К₁) – точку перетину l з площиною . Для цього через пряму l проводимо допоміжну фронтально-проекційну площину . Знаходимо лінію перетину 12(1₂2₂;1₁2₁) площини  з площиною . На перетині 1₁2₁ з l знаходимо К₁ по лінії проекційного зв’язку на l₂ знаходимо К₂. АК(А₂К₂;А₁К₁) – відстань від точки А до прямої l. А₀К₁- дійсна величина відстані, знайдена методом прямокутного трикутника.

Рисунок 4.46

При розв’язуванні задач часто треба будувати проекції кута між прямою й площиною і кута між двома площинами. Зазначимо, що розв’язування таких задач повністю грунтується на наведених відомостях про взаємне положення двох площин, прямої й площини. Ці задачі можна розв’язати, користуючись викладеними вище міркуваннями і способами класичної нарисної геометрії, однак, для розв’язку цих задач можна скористатись способами, які будуть викладені в наступному розділі. За допомогою способів перетворення епюра розв’язок і побудова значно спрощується.