4.6 Пряма, перпендикулярна до площини, і взаємно перпендикулярні прямі і площини

Пряму, перпендикулярну до площини, слід розглядати як окремий випадок прямої, яка перетинає площину під прямим кутом.

З курсу елементарної геометрії відомо, що пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох перетинних прямих, які лежать у даній площині (рис.4.35а).

а)

б)

Рисунок 4.35

На основі властивостей проеціювання прямого плоского кута можна зробити висновок, що проекції перпендикуляра до площини будуть розміщені таким чином:

1. Горизонтальна проекція ─ під прямим кутом до горизонтальної проекції горизонталі і до горизонтального сліду площини(рис.4.35б);

2. фронтальна проекція ─ під прямим кутом до фронтальної проекції фронталі і до фронтального сліду площини (рис.4.35б);

3. Профільна проекція ─ під прямим кутом до профільної проекції профільної прямої і до профільного сліду площини.

Справедливе і обернене твердження, а тому, якщо площина перпендикулярна до прямої, то горизонтальний слід площини або горизонтальна проекція горизонталі перпендикулярна до горизонтальної проекції прямої, а фронтальний слід і фронтальна проекція фронталі площини перпендикулярні до фронтальної проекції прямої.

Задача 1. Визначити відстань від точки А до площини  (рис.4.36).

Н айкоротша відстань від точки А до площини вимірюється перпендикуляром. На підставі викладеного вище, проекції перпендикуляра пройдуть через точку А перпендикулярно слідам площини. Основою перпендикуляра – точкою перетину перпендикуляра з площиною – є точка К. Її горизонтальну проекцію К₁ знаходимо за збираючою властивістю проекційної площини, а К₂ ─ по лінії проекційного зв’язку на фронтальній проекції перпендикуляра А₂К₂. А₁К₁ – дійсна величина відстані від точки А до площини, бо фронтальна проекція А₂К₂ розміщена паралельно до горизонтальної площини проекцій (АК - горизонтальний відрізок).

Рисунок 4.36

Задача 2. Знайти дійсну величину відстані від точки А до площини .

Відомо, що відстань від точки до площини вимірюється відрізком перпендикуляра від заданої точки до основи перпендикуляра – точки перетину перпендикуляра з площиною. Для цього з точки А проводимо перпендикуляр (рис. 4.37) до площини. Фронтальна проекція пройде через А₂ перпендикулярно до ₂, горизонтальна проекція ─ через А₁ перпендикулярно до _1. Основу перпендикуляра, точку К, знаходимо як точку перетину прямої (перпендикуляра) з площиною. Спосіб описано в задачах на рисунках 4.30; 4.31; 4.32. Знайшовши відстань у проекціях А₂К₂ і А₁К₁, знаходимо дійсну величину АК, використовуючи правило прямокутного трикутника. А₀К₁ – дійсна величина відстані від точки А до площини .

Задача 3. Знайти дійсну величину відстані від точки D до трикутника АВС (рис. 4.38).

Для того, щоб провести проекції перпендикуляра, у трикутнику АВС будуємо насамперед горизонталь h через вершину А і фронталь f через вершину С. Потім з проекцій точки D проводимо проекції перпендикуляра: з точки D₁ ─ перпендикулярно до h₁ і із точки D₂ ─ перпендикулярно до f₂ (рис. 4.38б). Далі через перпендикуляр проводимо допоміжну фронтально-проекційну площину . Будуємо лінію перетину заданої площини трикутника АВС з допоміжною площиною  - це буде лінія MN(M₂N₂;M₁N₁). І, нарешті, знаходимо основу перпендикуляра - точку К(К₂,К₁). Відстань від точки D до трикутника АВС знайдено в проекціях D₂K₂ і D₁K₁. Дійсну величину D₀K₂ знаходимо, застосовуючи правило прямокутного трикутника (4.38г).

Рисунок 4.37

а)

б)

в)

г)

Рисунок 4.38

Задача 4. З точки А, що належить площині , встановити перпендикуляр довжиною 35 мм (рис.4.39).

Т очка А, яка належить площині , задана своєю фронтальною проекцією. Знаходимо її горизонтальну проекцію за допомогою горизонталі h. Далі з точки А(А₂,А₁) проводимо проекції перпендикуляра: через А₂ перпендикулярно до ₂, а через А₁ перпендикулярно до ₁. Обмежуємо цей перпендикуляр довільною точкою 1(1₂,1₁). Методом прямокутного трикутника знаходимо дійсну величину обмеженої частини перпендикуляра А₂1₀. На дійсній величині від точки А₂ відкладаємо 35 мм. Одержимо точку В₀. З побудови на рисунку 4.39 видно, як будувалися проекції В₂ і В₁ (показано стрілками). Отже, А₂В₂ і А₁В₁ – проекції перпендикуляра, який проведено з площини , дійсна величина його дорівнює 35 мм.

Рисунок 4.39

Взаємноперпендикулярні площини – це окремий випадок двох площин, які перетинаються під прямим кутом. Для побудови зображення таких площин на епюрі скористаємось твердженням зі шкільного курсу геометрії про те, що дві площини взаємно-перпендикулярні тоді, коли: