Пример выполнения задания №.1.1 a

Для исходных данных,соответствующих пункту a ), получим следующие характеристики процесса:

а) ;- коэффициент сравнения,

;-поле рассеивания параметра,мм

;-допуск,мм

-коэффициент точности.

2. Принятие решений о браковке методами статистического приемочного контроля.

   1. Найти объем выборки и приемочный уровень при контроле продукции по методу

Неймана – Пирсона. Решить задачу различения двух гипотез :

приемка партии,

браковка партии.

Исходные данные:

МПа – математическое ожидание предела прочности,

МПа - среднее квадратическое отклонение предела прочности,

МПа - предел прочности материала по ГОСТу,

- риски поставщика и заказчика.

2.2 Найти объем выборки n и приемочный уровень при контроле надежности по методу Неймана - Пирсона. При решении задачи принять следующие исходные данные:

1).

( ) ( ) ( )

2).

3). .

4) .

Закон распределения нормальный.

2.3.. Найти области приемки ( браковки ) при статистическом контроле надежности методом последовательного анализа. При проведении расчета принять следующие исходные данные:

.

Закон распределения коэффициента запаса принять нормальным. ( )

2.4. Оценить средний объем испытаний n при контроле надежности по методу Вальда (последовательного анализа) при нормальном законе распределения контролируемого параметра. При проведении расчетов принять следующие исходные данные:

.

Основные расчетные соотношения

Этапы проверки статистических гипотез по методу Неймана- Пирсона

1. определение гипотез и ;

2. выбор статистики и задание уровня значимости ;

3. определение по таблицам, по уровню значимости и по альтернативной гипотезе критической области;

4. вычисление по выборке значения статистики;

5. сравнение значений статистики с критической областью;

6. принятие решения: если значение статистики не входит в критическую область, то принимается гипотеза и отвергается гипотеза , а если входит в критическую область, то отвергается гипотеза и принимается гипотеза .

7. приемочный уровень и число испытаний определяются из решения системы:

. В дальнейшем предположим, что случайная величина Х распределена нормально.

Ставится задача различения двух гипотез о значении математического ожидания:

Для заданного риска поставщика , имеем

;

где -- приемочный уровень, -- точечная оценка математического ожидания.

Отсюда

;

где -- объем выборки, -- среднее квадратическое отклонение.

Приравнивая аргументы, получим

.

Принимая риск заказчика ,равным ,найдем

;

Отсюда

;

Приравнивая аргументы, получим

.

Вычитая из первопго равенства второе, найдем

Отсюда

Из первого соотношения имеем

Отсюда .

Задача выборочного контроля в данном случае состоит в том, чтобы по результатам анализа выборочных характеристик (среднего арифметического значения ) сделать заключение о браковке или приемки партии.

В дальнейшем рассмотрим схему проведения количественного контроля. Предположим, что партия забраковывается, когда процент брака равен и принимается когда процент брака равен .

Таким образом требуется различить две гипотезы:

гипотеза приемка партии;

гипотеза браковка партии.

От исходных гипотез перейдем к гипотезам различения математических ожиданий:

; .

При решении задачи предположим, что отказ наступает при выполнении условия .

Тогда, в предположении нормального закона распределения, вероятность отказа будет равна

,

где аргумент функции нормированного нормального распределения, соответствующий вероятности отказа . Приравнивая аргументы, получим

Отсюда найдем .

Для определения приемочного уровня и числа испытаний n воспользуемся соотношениями ,полученными выше. Учитывая, что , получим

,

где ; .

Метод последовательного анализа (метод Вальда)

Согласно критерию отношения вероятностей Вальда, последовательное решающее правило состоит в следующем. Строится отношение правдоподобия:

Отметим, что - это условная плотность вероятности для наблюдаемых значений при истинности гипотезы ( ).

В дальнейшем величина сравнивается с постоянными порогом А и В. Если , то принимается гипотеза ; если , то принимается гипотеза , если , то делается еще одно наблюдение (выбор продолжается). После логарифмирования критическое неравенство примет вид

Рассмотренный критерий называется последовательным критерием отношения вероятностей. Очевидно, последовательный критерий отношения вероятностей обладает определенными оптимальными свойствами, так как он использует всю имеющуюся в распоряжении информацию, включая порядок появления выборочных значений.

Теперь определим значения порогов А и В. Рассмотрим выборку, для которой лежит между А и В для первых испытаний, так что принимаем (отвергаем ). Вероятность получения такой выборки по крайней мере в А раз больше при гипотезе , чем при гипотезе . Учитывая, что вероятность принятия , когда выполняется , равна , а вероятность принятия , когда выполняется , равна , можно записать;

, где - риск поставщика; - риск заказчика.

Отсюда

Аналогично, рассматривая случаи, когда принимается , получим

На практике более удобным является вычисление логарифма отношения правдоподобия, чем непосредственное вычисление отношения правдоподобия.

Тогда неравенства примут вид

- условие продолжения испытаний,

- условие браковки,

- условие приемки.

В дальнейшем рассмотрим построение областей отработки для нормального закона распределения параметров работоспособности системы.

Подставляя в критерий отношения правдоподобия выражения для нормального закона распределения, получим

Записывая условие приемки получим

;

.

Соответственно для условия браковки имеем

;

.

Области принятия решений представлены на рис. 6.2

Рис. 6.2 Области принятия решений.

Прогнозирование объема испытаний

Анализ поведения случайных траекторий показывает, что моменты окончания испытаний являются случайными величинами ( см. рис. 6.3).

Причем в случае приемки партии выполняется соотношение

,

Рис. 6.3 Траектории случайных реализаций значений M(n)=Ln{L(n)}

В этом случае вероятность приемки правильной гипотезы равна

Соответственно, если произойдет браковка, то

,

При этом вероятность браковки правильной гипотезы равна .

Можно доказать, что

.

С другой стороны математическое ожидание можно оценить по соотношению ( см. рис.6.3)

Отсюда

,

где

Таким образом

Для нормального закона распределения средний объем испытаний, необходимый для подтверждения заданного показателя надежности, определяется по формуле ( )

.

Пример выполнения задания №.2.1

Результаты расчетов представлены ниже:

Заметим, что для партии листов с принятыми характеристиками, вероятность брака будет равна

Занятие №7

Расчет числа отказов и обьема ЗИПа.

Задание

1. Оценить количество отказов для стратегии аварийных замен

1.1 Привести график функции восстановления для случаев

а) общего резервирования.

б) «холодного» резервирования,

в) «горячего» резервирования,

1.2 Рассчитать среднее число отказов и оценить гарантированный объем ЗИПа при следующих исходных данных: , .

Привести ассинптотическую оценку объема ЗИПа.

Основные расчетные соотношения

Стратегия аварийных замен.

Стратегия связана с простейшей моделью ремонта: после каждого отказа система приводится в исправное состояние за пренебрежимо короткое время и тотчас же возвращается в рабочее состояние. При этом под ремонтом понимается полное восстановление всех исходных свойств системы. Эта модель представляет собой хорошее приближение прежде всего для той практической ситуации, когда имеются резервные системы одного типа. В этом случае теория дает хорошие результаты для планирования потребностей в запасных частях. Исследование рассмотренных вопросов основывается на математической теории восстановления. В дальнейшем, при проведении анализа будем считать, что элемент начинает свою работу в момент t=0 и, проработав случайное время τ₁, выходит из строя. В этот момент он заменяется новым элементом, который, проработав время τ₂, выходит из строя и заменяется третьим элементом. Этот процесс продолжается неограниченно. Естественно предположить, что времена жизни элементов τ₁, τ₂, ... независимы. Случайные времена τ₁, τ₂, ... имеют один и тот же закон распределения, который мы обозначим через F(t):

Моменты отказов (рис.7.1) или восстановлений t₁ = τ₁ , t₂ = τ₁ + τ₂ , … , t_n = τ₁ + … + τ_n, образуют случайный поток, который мы будем называть процессом восстановления.

Рис.7.1 Схема процесса восстановления

Фундаментальное значение при изучении процесса восстановления играет так называемая функция восстановлении H(t), которая равна среднему числу отказов, происшедших до момента t.

Можно показать, что функция H(t) удовлетворяет интегральному уравнению

Вместо функции H(t) часто рассматривают дифференциальную характеристику

Функция h(t) называется плотностью восстановления.

Плотность восстановления удовлетворяет уравнению восстановления:

Применяя преобразование Лапласа к уравнению восстановления , получим:

Под преобразованием Лапласа функции f(t) принимают функцию

Таблица преобразований Лапласа представлена ниже

Преобразования Лапласа Таблица 7.1

Полученные результаты позволяют оценивать необходимое количество запасных частей.

Для экспоненциального закона распределения функция и плотность восстановления оцениваются по соотношениям

Очевидно среднее количество запасных частей не обеспечивает гарантированного результата, так как реально число отказов может больше, чем их среднее число . Гарантированное число резервных элементов можно оценить из условия

где - заданный уровень доверия; - число запасных элементов.

Для экспоненциального закона распределения наработки на отказ соотношение примет вид

где интенсивность отказа; заданное время работы устройства.

При длительном функционировании можно найти ассинптотическую оценку числа отказов. В этом случае случайное число отказов имеет нормальное распределение с параметрами

Очевидно гарантированное количество запасных частей может быть найдено из условия

где - принятый уровень доверия.

Раскрывая выражение для вероятности, получим

Отсюда