Формулы для описания модели в с постоянным временем обслуживания m/d/1
Средняя длина
очереди: 
Среднее время
ожидания в очереди:
Среднее число
клиентов в системе: 
Среднее время
ожидания в системе: 
Контрольный пример 2
Компания «Утиль» собирает и утилизирует алюминиевые отходы и стеклянные бутылки. Водители автомобилей, доставляющие сырье для вторичной переработки, ожидают в очереди на разгрузку в среднем 15 мин. Время простоя водителя и автомобиля оценивается в 600 грн. в час. Новый автоматический компактор может обслуживать контейнеровозы с постоянным темпом 12 машин в час (5 мин на одну машину). Время прибытия контейнеровозов подчиняется пуассо-новскому закону с параметром z=8 в час.
Если будет использоваться новый компактор, то амортизационные затраты составят 30 грн. на один контейнеровоз.
Фирма пригласила студента, который провел следующий анализ, для оценки целесообразности использования компактора:
Затраты в настоящее время: (1/4 ч ожидания)(600 грн./ч)=-150 грн./поездка.
Новая система: z=8 автомобилей/ч прибывают;
b=12 автомобилей/ч обслуживается.
Среднее время
ожидания в очереди:
Затраты с новым компактором: (1/12 ч ожидания)(600 грн./ч) = 50 грн./поездка.
Доход при новом оборудовании: 15 (существующая система) - 50 (новая система)=100 грн./поездка.
Амортизационные затраты: 30 грн./поездка.
Чистый доход: 70 грн./поездка.
Индивидуальное задание
Решить задачу согласно вашему варианту, используя модели массового обслуживания.
Вариант 1
Система банка «Автодор» позволяет клиенту совершать некоторые банковские операции, не выходя из машины. Утром в рабочие дни прибывает в среднем 24 клиента в час. Прибытие клиентов описывается законом Пуассона.
Сколько клиентов в среднем прибывает за 5 мин?
Каковы вероятности того, что ровно 0, 1, 2, 3 клиента прибудут за 5 мин?
Если в течение 5 мин прибывает более трех клиентов, то возникает проблема перегруженности системы. Какова вероятность возникновения такой проблемы?
В системе банка «Автодор» время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания 36 клиентов в час.
Каковы вероятности того, что время обслуживания составит: а) не более 1 мин, б) не более 2 мин, с) более 2 мин?
Определите следующие характеристики системы:
вероятность того, что в системе нет требований;
среднее число требований в очереди;
среднее число требований в системе;
среднее время ожидания;
среднее время, которое клиент проводит в системе;
вероятность того, что прибывающему клиенту придется ждать обслуживания;
вероятность того, что в системе находятся: а) 0 клиентов, б) 3 клиента и в) более 3 клиентов.
Вариант 2
Справочная университетской библиотеки получает запросы, поступающие по пуассоновскому закону со скоростью в среднем 10 запросов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально, скорость обслуживания - 12 запросов в час. Определите:
вероятность того, что в системе нет запросов;
среднее число запросов в очереди;
среднее время ожидания;
среднее время, которое запрос проводит в системе:
вероятность того, что запросу придется ждать обслуживания.
Вариант 3
Грузовики, прибывающие на обслуживание в порт, образуют одноканальную очередь. Их прибытие распределено по закону Пуассона. Время погрузки / разгрузки распределено экспоненциально. Средняя скорость прибытия - 12 грузовиков в день, обслуживания - 18 грузовиков в день. Определите:
вероятность того, что в системе нет грузовиков;
среднее число грузовиков в очереди;
среднее время ожидания;
вероятность того, что прибывающему грузовику придется ждать обслуживания.
Вариант 4
Контора принимает обрабатываемые единственным клерком заказы, поступающие по закону Пуассона со средней скоростью 6 заказов в день. Время на их обработку распределено экспоненциально со средним уровнем обслуживания 8 заказов в день. Определите:
среднее число заказов в системе;
среднее время ожидания начала обработки заказа клерком;
среднее время, которое заказ проводит в системе.
Вариант 5
В парикмахерской работает один мастер. Клиенты приходят со средней скоростью 2,2 человека в час, средний уровень обслуживания -5 человек в час. Прибытие клиентов подчинено закону Пуассона, а время обслуживания распределено экспоненциально. Определите:
вероятность того, что в системе нет требований;
вероятность того, что один клиент стрижется и никто другой не ждет;
вероятность того, что один клиент стрижется и еще один ждет:
вероятность того, что один клиент стрижется и еще два ждут;
вероятность того, что более двух клиенток ждут;
среднее время ожидания.
Вариант 6
Автосервис решил нанять нового механика для того, чтобы он менял старые покрышки на новые. На это место есть два кандидата. Один из них имеет ограниченный опыт и может быть нанят за 7 тыс. грн./мес. Ожидается, что этот механик сможет обслуживать трех клиентов в час. Другой механик более опытен, он в состоянии обслужить четырех клиентов в час, но его можно нанять на работу за 10 тыс. грн./мес. Клиенты прибывают со скоростью 2 человека в час. Предполагая пуассоновское распределение времени прибытия и экспоненциальное распределение продолжительности времени обслуживания, определите:
среднее время, которое клиент проводит в очереди;
среднюю длину очереди;
среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;
среднее число клиентов в системе обслуживания;
вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой при условии найма одного или другого механика.
Компания оценивает издержки по ожиданию клиентами своей очереди в 150 грн./ч. Какого механика следует нанять, чтобы обеспечить меньшие совокупные издержки? Каковы минимальные совокупные издержки?
Вариант 7
Фирма «Уют» обеспечивает своим клиентам помощь в дизайне дома или офиса. В нормальном режиме каждый час прибывает в среднем 2,5 клиента. Единственный консультант по дизайну отвечает на вопросы клиента и дает необходимые рекомендации. Он тратит на каждого посетителя в среднем 10 мин. Предполагая пуассоновское распределение времени прибытия и экспоненциальное распределение продолжительности обслуживания, определите:
среднее время, которое клиент проводит в очереди;
среднюю длину очереди;
среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;
среднее число клиентов в системе обслуживания;
вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой.
Желательно, чтобы прибывающий клиент не ждал своей очереди в среднем более 5 мин. Соответствует ли реальная ситуация данному пожеланию? Если нет, то что необходимо предпринять?
Предположим, что консультант способен уменьшить среднее время, которое он проводит с клиентом, до 8 мин. Какой стала средняя скорость обслуживания? Достигнута ли цель теперь?
Вариант 8
«У Петра» - маленький магазин с одним прилавком. Предположим, что покупатели прибывают в магазин по закону Пуассона со средней скоростью 15 покупателей в час. Время обслуживания распределено экспоненциально, средняя скорость обслуживания - 20 покупателей в час. Рассчитайте:
среднее время, которое покупатель проводит в очереди,
среднюю длину очереди,
среднее время, которое покупатель проводит в магазине,
среднее число покупателей в магазине,
вероятность того, что в магазине не окажется покупателей.
Вариант 9
В верхнем течении Днепра построена новая станция по обслуживанию речных судов. Судно может остановиться в новом доке для заправки и ремонта. Суда прибывают по закону Пуассона со средней скоростью 5 судов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания10 судов в час.
Какова вероятность того, что док будет пуст?
Каково среднее число судов в очереди?
Каково среднее время ожидания обслуживания?
Каково среднее время пребывания в доке?
Вариант 10
Пациенты прибывают к дантисту со средней скоростью 2,8 человека в час. Дантист в среднем способен обслужить 3 человека в час. Наблюдения показывают, что в среднем пациент ждет 30 мин.
Чему равны средние скорости прибытия и обслуживания, выраженные в пациентах в минуту?
Какова средняя длина очереди?
Вариант 11
Механики компании «Автосервис» прибывают на главный склад за запчастями со средней скоростью 4 механика в 1 мин. Сейчас на складе один работник. Каждый механик в среднем ждет обслуживания 4 мин. Найдите:
среднее число клиентов в системе;
среднее время обслуживания одного клиента в системе;
среднее число клиентов в очереди.
Вариант 12
Офисный ксерокс используют 5 служащих. Среднее время между двумя моментами его использования для каждого из служащих равно 40 мин. В среднем служащий занимает ксерокс на 5 мин. Используя модель М/М/1 с ограниченным множеством требований, определите:
вероятность того, что ксерокс простаивает;
среднее число служащих в очереди;
среднее число служащих в комнате, где стоит ксерокс;
среднее время ожидания;
среднее время нахождения в комнате с ксероксом.
Сколько времени за восьмичасовой рабочий день тратит служащий на данную операцию?
Стоит ли компании приобретать второй ксерокс? Ответ обосновать.
Вариант 13
В распоряжении магазина находится 10 грузовиков. Грузовики прибывают в магазин в случайном порядке в течение дня для погрузки / разгрузки. Каждый грузовик прибывает на обслуживание дважды за 8-часовой рабочий день. Средняя скорость обслуживания - 4 грузовика в час. Модель прибытия требований - пуассоновская, модель времени обслуживания - экспоненциальная. Определите:
вероятность того, что ни один грузовик не ожидает погрузки / разгрузки;
среднее число грузовиков в очереди;
среднее число грузовиков у магазина (грузовики в очереди и на погрузке / разгрузке);
среднее время ожидания.
Каковы часовые издержки по функционированию системы, если в 1 час издержки на каждый грузовик равны 500 грн.., а на работы с грузовиками - 300 грн.?
Вариант 14
Клиенты приходят к парикмахеру со средней скоростью 2,3 человека в час. Парикмахер в среднем способен обслужить 3 человека в час. Наблюдения показывают, что в среднем клиент ждет 25 мин.
Чему равны средние скорости прибытия и обслуживания, выраженные в клиентах в минуту?
Какова средняя длина очереди?
Вариант 15
Офисный принтер используют 10 служащих. Среднее время между двумя моментами его использования для каждого из служащих равно 20 мин. В среднем служащий занимает ксерокс на 5 мин. Используя модель М/М/1 с ограниченным множеством требований, определите:
вероятность того, что принтер простаивает;
среднее число служащих в очереди;
среднее число служащих в комнате, где стоит принтер;
среднее время ожидания;
среднее время пребывания в комнате с принтером.
Сколько времени за семичасовой рабочий день тратит служащий на данную операцию?
Стоит ли компании приобретать второй принтер? Объясните.