Умножение вероятностей

Теорема 4. Вероятность появления 2-х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого , вычисленную в предположении , что первое событие уже наступило.

или - зависимые события.

Доказательство. По определению условной вероятности , отсюда .

Для нескольких событий P (

…. Для 3-х событий P (ABC) = P(A)

Пример. Среди 50 электролампочек 3 нестандартные . Найти вероятность того , что 2 взятые подряд электролампочки окажутся нестандартными .

Решение. Пусть событие А – 1-я лампочка нестандартная , В – вторая лампочка нестандартная. Вероятность события А равна Р(А) = . Вероятность 2-ой лампочки быть нестандартной при условии , что первая оказалась нестандартной равна . P(AB) = P(A) .

Определение. Событие В называется независимым от события А , если появление события А не изменяет вероятности появления события В , то есть если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности

.

Для независимых событий

Пример. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании 2-х монет.

Решение. Вероятность появления герба на первой монете событие А ,Р(А) = . Для второй монеты Р(В) = . Р(А В) = Р(А) = .

Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий .

Доказательство. Пусть А – событие , состоящее в появлении хотя бы одного события , а В - событие , состоящее в том , что ни одно из событий не появилось , то есть В = . События А и В противоположны , тогда

Р (А) + Р(В) = 1 Р(А) = 1 – Р(В) , но Р(В) = , окончательно

Р(А) = 1 - ч.т.д.

Следствие. Если события имеют одинаковую вероятность , то

Пример. Вероятность попадания в цель при 4-х выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Решение. Р(А) = 1 - = 0,9984 . = 1 – 0,9984 = 0,0016. Q = = 0,2.

q = 1 –p = 0,8.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Определение. Два события называются совместными , если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример. А – появление 4-х очков при бросании игральной кости . В – появление чётного числа очков . А и В – совместные события.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Д оказательство. Так как А и В совместны , то событие А+В наступит в 3-х случаях АВ, В , А .

АВ

Р(А+В) =Р(АВ) + Р(АВ) + Р(АВ) . (1)

АВ АВ

Событие А произойдёт , если произойдёт

одно из несовместных событий АВ , АВ , то

есть Р(А) = Р(АВ) + Р(АВ) отсюда

Р(АВ) = Р(А) – Р(АВ) (2)

Аналогично, событие В произойдёт , если

АВ , АВ, то есть Р(В) = Р(АВ) + Р(АВ) отсюда

Р(А В) = Р(В) – Р(АВ) (3)

(2) и (3) подставляем в (1) Р(А+В) = Р(АВ) + Р(А) – Р(АВ) + Р(В) – Р(АВ)

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) ч.т..д.

1). Если А и В независимы , то

2). Если А и В зависимы , то

3). Если А и В несовместны , то

Пример. В мешке смешаны нити , среди которых 30% белых , а остальные красные . Определить вероятность того , что вынутые наудачу 2 нити будут одного цвета.

Решение. Пусть событие А – 2 белые нити , событие В – 2красные. Р(А) = 0,3 = 0,09; Р(В) = 0,7² = 0,49. Или А или В Р(А+В) = 0,09 + 0,49 = 0,58.

ЛЕКЦИЯ 3. Формула полной вероятности . Формула Байеса.

Формула Бернулли. Локальная и интегральная.

теоремы Лапласа

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события А , которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий В₁ , В₂ ,В₃ ,…., В_n , образующих полную группу , равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

,

где достоверные события, В_i B_j = - невозможные события, недостоверные события при i .

Доказательство. Событие А происходит с одним из событий В_i , то есть

А = АВ₁ +АВ₂ + АВ₃ + АВ_i - эти события несовместны, поэтому

Р(А) = Р = (1)

А и В_i – совместные , поэтому Р(АВ_i ) = P(B_i ) ,подставляем в (1)

ч.т.д.

Пример 1. Уязвимыми местами военного самолёта являются : топливные баки, силовая установка , система управления. Вероятность попадания одиночного снаряда в эти места равна соответственно : 0,45; 0,3 ; 0,25. При попадании снаряда в топливные баки самолёт может быть уничтожен с вероятностью 0,7; при попадании в силовую установку – 0,4; при попадании в систему управления – 0,5. Найти вероятность уничтожения самолёта одним снарядом.

Решение. Пусть событие А – уничтожение самолёта одним снарядом. Это может произойти с одним из событий В₁ – попадание снаряда в топливные баки или В₂ – попадание снаряда в силовую установку , или В₃ – в силовую установку. Применим формулу полной вероятности

Р(А) = Р(В₁ ) , где Р(В₁ ) = 0,45; Р(В₂ ) = 0,3 ; Р(В₃ ) = 0,25; все эти значения подставляем в формулу Р(А) = 0,45