3). Аналитическое задание (формулой).

Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться . Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна равна p , g – вероятность не появления g = 1-p.

В качестве дискретной случайной величины рассмотрим величину X число появлений события А в этих испытаниях . Составим закон распределения . Возможные значения случайной величины X , то есть события А может появиться это x₁=0, x₂=1 , x₃=2 …x_n+1=n . Для нахождения вероятностей возможных значений можно воспользоваться формулой Бернулли

k=0,1,2,…n. (1)

Формула (1) даёт аналитическое выражение закона распределения.

Определение. Распределение дискретной случайной величины , определяемой формулой Бернулли называется биномиальным ( от слова бином – двучлен).

X	n	n-1	n-2	…	k	…	0
p				…		…

;

Пример. Устройство состоит из 3-х независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном испытании равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение. Дискретная случайная величина X – число отказавших элементов в одном опыте. Возможные значения x₁=0, x₂=1 , x₃=2, x₄=3; p = 0,1; n=3; g = 0,9.

X	0	1	2	3
	0,729	0,243	0,027	0,001

= ; ; ; ; . .

Числовые характеристики дискретной случайной величины

На практике часто бывает трудно составить закон распределения той или иной случайной величины ,но каким – то образом требуется охарактеризовать

процесс , для этого пользуются числами , которые и называются числовыми характеристиками.

X			…
P			…

Определение. Математическим ожиданием (м.о.) дискретной случайной величины (д.с.в.) называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности. Обозначают М(X).

(1)

Если n , то ряд (1) должен сходится абсолютно.

Вероятностный смысл математического ожидания

Пример. Пусть на завод поступила партия , состоящая из N подшипников . При этом подшипников с диаметром ; подшипников с диаметром ; ……. - подшипников с диаметром . Здесь m₁ + m₂ + ….+m_n = N . Найдём среднее арифметическое значение x_ср. внешнего диаметра подшипников . x_ср. = = , здесь возможных значений случайной величины X – диаметров подшипников.

Таким образом

Вывод. Математическое ожидание приближённо равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений , то есть все возможные значения случайной величины расположены слева и справа от математического ожидания. Ещё математическое ожидание называют центром распределения.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной. М(С) = С.

Доказательство.

Пусть случайная величина принимает одно значение X =C. Вероятность р =1 , тогда М(С) = С ч.т.д.

Определение. Произведением постоянной величины С на дискретную случайную величину X называют новую д.с.в. СX , возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения X ; вероятности возможных значений с.в. CX равны вероятностям соответствующих возможных значений X.

X	x1	x2	x3
P	p1	p2	p3

CX	c1 x1	c 2x2	c3x3
P	p1	p2	p3