Свойства функции распределения
1. Значения функции распределения принадлежит отрезку [0,1] , то есть
0
Доказательство
следует
из свойств вероятности, так как 0
2.
F(x)
– неубывающая функция,
то
есть
F(
, если
.
Доказательство.
Пусть
.
Событие состоящее в том , что X
примет значение меньшее
,
можно подразделить на следующие два
несовместные события 1). X
примет значения , меньшее
с P(X
.
2). X
примет значения, удовлетворяющие
неравенству
с P(
По
теореме сложения P
(X
отсюда
P
(X
или
(1)
Так
как любая вероятность есть число большее
нуля, то F(
>0
ч.т.д.
3.
Если
случайная
величина примет значение в интервале
(
равна приращению функции распределения
(2)
4. Вероятность , того что непрерывная случайная величина примет одно определённое значение равна нулю.
Доказательство.
Действительно, положив в формуле (2)
получаем
P(
, пусть
то
,
P( X =
5. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу ( , то
.
F(x)
= 0 при x
<
.
b).
F(x)
= 1 при x
Доказательство.
P(
X
<
-
невозможное событие , F(x)
= 0.
P( x > b ) = 1 - достоверное событие , F(x) = 1.
6.
Если X
,
то
График функции распределения
. Для непрерывной случайной величины , следуя свойствам, график функции распределения имеет такой вид
F(x)
1
0 b x
Пример. Задана функция распределения непрерывной случайной величины X.
0
при x
,
F(x) =
1 при x > 3.
Найти коэффициент и построить график F(x), определить вероятность того, что случайная величина X в результате опыта примет значение на участке (1,2).
Решение. По свойству (5) при x = 3 F(x) = 1 , то есть =1,
F(3) = .
P(1<
X < 2 ) = F (2) – F( 1 ) =
F(x)
1
- - - - - - - - - -
0 1 2 3 x
. Для дискретной случайной величины график функции распределения имеет ступенчатый вид.
Пример. Найти функцию распределения и построить график, если случайная величина задана законом распределения
-
x
1
4
8
p
0,3
0,1
0
,6
1).
x
0 , x
2).
1
F(x) = 0,3 , 1< x
3).
4< x
0,4 , 4< x
4). x > 8 , то F(x) = 1. 1 , x > 8
F(x)
1 -------------------------
0,4 --------------------
0,3 -------------
----------- x
0 1 4 8
Плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины
Непрерывные случайные величины можно задавать и другой функцией.
Определение.
Плотностью распределения вероятностей
непрерывной случайной величины X
называют функцию f(x)
– первую производную от функции
распределения F(x)
, f(x)
= F
(x).
f (x) – дифференциальная функция.
Из определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.
Теорема. Вероятность , того что непрерывная случайная величина X примет значение , принадлежащее интервалу ( равна определённому интегралу от плотности распределения , взятому в пределах от до b.
P
(
)
=
Доказательство. Из свойств функции распределения имеем
P( ) = F ( b ) – F ( ). По формуле Ньютона – Лейбница
F
( b
) – F(
=
dx
=
или P(
)
=
ч.т.д.
Свойства функции плотности
1).
F
( x
) =
- связь между интегральной и дифференциальной
функциями.
2).
f
(x)
Доказательство.
Функция распределения F(x)
возрастающая, следовательно её
производная
,
то есть f(x)
> 0.
3).
Несобственный интеграл от плотности
распределения в интервале от
-
равен единице
Доказательство.
F(
= P
( -
- это вероятность события , состоящего
в том что случайная величина примет
значение , принадлежащее интервалу ( -
).
Очевидно, такое событие достоверно, а
вероятность достоверного события равна
1, то есть
, аналогично ,
по
свойству функции распределения.
Геометрически это означает, что площадь
криволинейной трапеции, ограниченной
осью оx
и кривой плотности распределения равна
единице.
Пример
. Функция
f(x)
=
на (-
лотность
вероятности случайной величины X.
Найти коэффициент А и функцию распределения
X,
а затем определить вероятность того,
что случайная величина X
примет какое либо значение: 1). Меньшее
5 , но большее 0 . 2). Не более 3.
Решение
.
=
A (
A
=
. f(x) =
. -
x
F
(x)
=
=
=
-
5
1).
P (0 < x < 5 ) =
=
=
rct
0
2).
P
(x
Вероятностный смысл плотности распределения
Пусть F(x) – функция распределения непрерывной случайной величины X , по определению
f(x)
=
. (1)
По
свойствам F(x+
)
–F(x)
определяет вероятность того , что X
примет значения , принадлежащие интервалу
(x
, x
+
Таким образом формула (1) показывает
значение плотности распределения в
точке x.
По
аналогии с определением плотности массы
в точке , она есть предел отношения массы
вещества в интервале (x,
x+
к длине интервала
,
то есть
, где F(x)
– закон, по которому распределена масса.
Известно
: F(x+
, с другой стороны
P
(x <X < x+
F(x+
.
Вывод . Вероятность того, что случайная величина примет значения , принадлежащие интервалу (x , x+ приближённо равна произведению плотности вероятности в точке x на на длину интервала .
Геометрически .
f(x
) C
f(x)
SxAB
x
+ x
=f(x)
.
Истинное
значение
,
A B допущена ошибка - это S ACB .
0 x x+ x
ЛЕКЦИЯ 7. Числовые характеристики случайных
величин. Основные законы .
распределения дискретных случайных величин
Математическое ожидание.
Пусть
случайная величина X
задана плотностью распределения f(x)
, допустим, что все возможные значения
принадлежат отрезку [
.
Разобьём этот отрезок на части длиной
и выберем в каждом из них произвольную
точку
(
.
По аналогии с математическим ожиданием
дискретной случайной величины составим
сумму
(1)
Ранее
показано, что f(x)
- это есть вероятность попадания X
в интервал
.
В (1) перейдём к пределу при получим
.
Определение.
Математическим
ожиданием непрерывной случайной величины
X
, возможные значения которой принадлежат
отрезку [
определённый интеграл
M(x)
=
.
(2)
Если
принадлежат
(-
, то
M(x)
=
,
этот несобственный интеграл должен сходиться.
Дисперсия
Определение.
Дисперсией
непрерывной случайной величины X
называется математическое ожидание
квадрата отклонения её . Если
D(x)
=
(3)
Если
то
D(x)
=
Среднее
квадратическое отклонеие
.
Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретной случайной величины справедливы и для непрерывной случайной величины.
Формула для вычисления дисперсии
Распишем равенство (3)
D(X)
=
-2M(X)
=
Пример. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины X , заданной интегральной функцией
F(x)
=
Решение. Сначала найдём функцию плотности вероятностей
f
.
f(x)
=
M
(X)
=
=
=
.
D(X)
=
=
=
.
=
.
Мода и медиана
Определение. Модой дискретной случайной величины называется её наиболее вероятное значение.
Определение.
Модой
непрерывной случайной величины X
называется , то её значение , при котором
плотность распределения максимальна.
Обозначают
.
Определение.
Медианой непрерывной
случайной величины называют такое
значение
,
для
которого одинаково вероятно , окажется
ли случайная величина меньше или больше
, то
есть P
(X
Геометрически
мода является абсциссой той точки кривой
(полигона) распределения , ордината
которой максимальна. Ордината же,
проведённая в точке с абсциссой x
=
,
делит пополам площадь , ограниченную
кривой распределения . Если прямая x
=
является осью симметрии кривой
распределения y
= f(x)
, то
.
f(x)
0 x
Пример. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины
f(x)
=
Найти моду.
Решение. Найдём максимум функции y = f(x).
,
,
значит
П
ример
. Дана
функция 0, x
f(x)
= x-
0
, x
Найти медиану .
Решение.
Медиану найдём из условия P(
X
P(
X<
. Из
4-х корней нужно выбрать между 0 и 2
.
Пример. Найти моду случайной величины , заданной таблицей
|
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
|
0,24 |
0,36 |
0,20 |
0,15 |
0,03 |
0,02 |
Решение. Задана дискретная случайная величина , поэтому мода = 20 , как наиболее вероятное значение дискретной случайной величины.