Задача 2. Розрахунок електричного кола однофазного синусоїдного змінного струму

2 .1. Обсяг завдання. У відповідності до вихідних даних провести аналіз електричного кола синусоїдного змінного струму зі змішаним з’єднанням елементів (рис. 2.1) наступним чином:

1) спростити електричну схему кола, та визначити опір кола відносно затискачів джерела синусоїдного струму частотою f=50 Гц;

2) визначити струми та спади напруг всіх ділянок кола;

3) скласти баланс потужності джерела та споживачів, порівнявши окремо активні та реактивні потужності;

4) на комплексній площині побудувати суміщену векторну діаграми струмів і напруг.

2.2. Вказівки до вибору варіанта:

1) значення напруги на ділянці кола, опір активних елементів, індуктивність і ємність реактивних елементів розрахункової схеми вибирають з таблиці згідно з останніми двома цифрами (одиниці та десятки) залікової книжки (шифру) або за кодовим номером, що його встановлює викладач.

2) при виконанні роботи в парному році прийняти, що значення напруги задане на ділянці АD, а в непарному році – на ділянці ВС.

Таблиця 2.1

Вихідні дані до розрахунку задачі

Число десятків шифру	U, В	Активний опір, Ом				Число одиниць шифру	Індуктивність, мГн				Ємність, мкФ
		r0	r1	r2	r3		L0	L1	L2	L3	C0	C1	C2	C3
0	110	-	12	20	19	0	16	24	32	-	-	300	350	400
1	127	2	-	18	17	1	40	48	-	58	450	-	500	600
2	60	4	7	-	15	2	60	-	55	50	650	700	-	750
3	36	6	9	14	-	3	-	45	50	55	300	350	400	-
4	100	8	11	-	11	4	25	-	30	35	450	500	-	550
5	200	10	-	10	9	5	40	45	-	50	600	-	650	700
6	127	-	15	8	7	6	55	60	65	-	-	800	850	900
7	130	14	-	6	5	7	75	70	-	60	300	-	350	400
8	220	16	19	-	3	8	50	-	55	60	450	500	-	550
9	42	18	10	2	-	9	-	45	70	35	600	650	300	-

2.3. Методичні вказівки до розрахунків. На відміну від кіл постійного струму, де наявний тільки омічний опір R, в колах змінного струму розрізняють активний r (аналог омічного), реактивний х (індуктивний – та ємнісний – і повний Z опори. Разом з тим, методики розрахунків кіл змінного і постійного струму по суті аналогічні.

За послідовного з’єднання n активних r, індуктивних х_L та ємнісних х_C опорів, повний опір кола (ділянки) розраховують за формулою:

У розрахунках паралельного з’єднання використовують поняття провідності:

активна – реактивна – повна –

Струми та спади напруг на ділянках кола розраховують за законом Ома або з використанням законів Кірхгофа. Проте у разі застосування законів Кірхгофа діючі значення струмів і напруг, на відміну від кіл постійного струму, сумують не алгебраїчно, а геометрично. Щоб зменшити похибку, геометричні дії з векторами електричних величин часто замінюють алгебраїчними операціями з комплексами цих величин. Звідси поділ методів розрахунку розгалужених кіл змінного струму на класичний (провідностей) та символічний (комплексних чисел).

Застосування комплексних чисел для розрахунків кіл синусоїдного струму дає можливість замінити диференційні рівняння, якими описуються процеси у цих колах, алгебраїчними рівняннями.

З

Рис. 2.2. До запису комплексного числа.

курсу математики відомо, що синусоїдну функцію, зокрема обертовий вектор (рис. 2.2), можна записати комплексним числом. Тому при розрахунках електричних кіл синусоїдного струму, замість геометричних дій з векторами, використовують більш зручні і точніші алгебраїчні дії з комплексними числами.

Відомо, що комплексне число може бути записано у алгебраїчній, показниковій та тригонометричній формах, відповідно:

,

,

,

де a та b – відповідно, дійсна та уявна складові комплексного числа (проекції вектора на вісі, відповідно, дійсних та уявних чисел); А – модуль комплексного числа (довжина вектора);  – аргумент комплексного числа (кут нахилу вектора до вісі дійсних чисел); – уявне число; е – основа натурального логарифму.

Для переходу від однієї форми запису комплексного числа до іншої використовують співвідношення (рис. 2.2):

,

,

,

.

Комплекс діючого значення електричної величини, що змінюється у часі за синусоїдою, виділяють крапкою над символом, який відображає цю величину. Наприклад: – комплекс діючого значення струму; – комплекс діючого значення напруги. Якщо електрична величина не є синусоїдною, то комплекс її значення виділяють рискою під символом, який відображає цю величину. Наприклад: Z – комплекс повного опору; S – комплекс повної потужності.

Додавати або віднімати комплексні числа зручніше коли вони надані у алгебраїчній формі запису:

Виконувати множення, або ділити – зручніше коли числа надані у показниковій формі:

Комплекси величини, які відрізняються тільки за знаком аргументу, називають спряженими комплексами. В електротехніці спряжений комплекс звичайно виділяють «зірочкою» над символом величини. Так, якщо маємо –

,

то спряжений комплекс буде:

Зазначимо, що при множенні комплексу величини на спряжений комплекс, в результаті одержимо квадрат модуля цієї величини –

.

З азначимо, що використання символічного методу дає можливість суттєво скоротити розрахунок кола та одержувати результати у формі, більш прийнятній для аналізу процесів, які відбуваються у колі.

Методику використання символічного методу для аналізу розгалуженого кола змінного струму покажемо на прикладі розрахунку схеми, наведеної на рис.2.1.

Утворюють розрахункову схему, в яку входять тільки ті елементи, значення яких в завданні не дорівнює нулю. При заданих значеннях: U_АВ = 127 B, f = 50 Гц, r₀ = 2 Ом, r₂ = 18 Ом, r₃ = 17 Ом, L₀ = 16 мГн, L₁ = 24 мГн, L₂ = 32 мГн, С₁ = 300 мкФ, С₂ = 350 мкФ, С₃ = 400 мкФ, вона має вид, показаний на рис.2.3.

За значеннями індуктивності L та ємності C розраховують реактивні опори (Ом) ділянок кола:

;

;

;

;

;

і визначають комплекси повних опорів (Ом) відповідних ділянок кола:

;

;

;

.

Подання опорів ділянок у вигляді комплексів дає підстави привести розрахункову схему до вигляду, зображеного на рис.2.4. Тут опори Z₂ і Z₃ ввімкнені паралельно. Врахувавши, що провідність даної ділянки:

знаходять її еквівалентний опір (Ом):

Тепер схема набуває вигляду, поданого на рис.2.5.

П одальша заміна ввімкнених послідовно опорів Z₁, Z₂₃ і Z₀ еквівалентним опором кола Z_к (Ом):

^,

дає підстави спростити розрахункову схему до вигляду, зображеного на рис.2.6.

Якщо прийняти, що вектор спаду напруги на ділянці АВ спрямовано по осі дійсних чисел комплексної площини, то комплексна напруга (В) цієї ділянки буде:

Комплексний струму кола (А) та комплекси спадів напруг та (В) на окремих ділянках схеми розраховують за законом Ома:

;

Правильність обчислення напруг та перевіряють за другим законом Кірхгофа:

Якщо відносні розбіжності активних і реактивної складових та не перебільшують ±1,0 %

розрахунок кола можна продовжувати далі. У іншому разі слід зробити перевірку виконаних обчислень з початку задачі.

Комплекси струмів (А) ділянок кола розраховують так:

Правильність обчислення струмів перевіряють за першим законом Кірхгофа:

.

Якщо відносні розбіжності активних і реактивних складових та не перебільшують ±1,0% розрахунок кола можна продовжувати далі. У іншому разі слід зробити перевірку всіх раніше виконаних дій.

Комплекс повної потужності S_дж (ВА) джерела, його активну Р_дж та реактивну Q_дж складові визначаємо за формулою:

Р_дж=3958,56 Вт та Q_дж=2294,69 вар.

Комплекс повної потужності S_сп (ВА) споживачів кола визначаємо як суму повних потужностей всіх споживачів додаванням їх активних Р_сп (Вт) та реактивних Q_сп (вар) складових:

Зверніть увагу: обчислюючи S_дж, використовують спряжений комплекс від струму кола ; обчислюючи S_сп до квадрату беруть тільки модуль комплексу струму кола, наприклад модуль комплексу струму I₁=15,56 від струму

Задачу вважають розв’язаною правильно якщо для відносних розбіжностей активних і реактивних складових S_дж та S_сп виконуються умови:

За результатами розрахунків, на комплексній площині будують суміщену діаграму струмів та напруг кола (рис. 2.7 ). Методика побудови векторів діаграми така:

спочатку обирають зручні масштаби побудови векторів струму М_і (А/мм) і напруги М_u (В/мм) та вказують їх на комплексній площині;

далі необхідно:

1) з початку координат по осі дійсних чисел (_uк=0) відкласти відрізок завдовжки 110/М_u ;

2) з початку координат, під кутом _u1= - 14,9^° до осі дійсних чисел відкласти відрізок довжиною 294,06/М_u;

3) з кінця під кутом _u23= - 23,46^° до осі дійсних чисел відкласти відрізок довжиною 189,83/ М_u;

4) з початку координат, під кутом _ік=_і1= - 45^° до осі дійсних чисел відкласти відрізок довжиною 15,56/ М_і;

5) з початку координат під кутом _і2= - 82,49^° до осі дійсних чисел відкласти відрізок довжиною 16,28/М_і ;

6) з кінця під кутом _і3= 30,29^° до осі дійсних чисел відкласти відрізок довжиною 10,21/М_і.

Зверніть увагу: в загальному випадку на суміщеній діаграмі, за правильного виконання дій, отримують два замкнених багатокутника, один з яких складений з векторів напруг, а другий – з векторів струмів (у даному випадку маємо трикутник струмів та трикутник напруг).Суміщена векторна діаграма дає можливість наочно аналізувати характери навантажень ділянок кола. Так, в даному разі, в цілому розрахункова схема має активно-індуктивний характер навантаження, оскільки вектор струму кола відстає від вектора напруги кола на кут:

Перша ділянка схеми, де включені активний опір r₁, індуктивність L₁ та ємність C₁, також має активно-індуктивний характер навантаження, оскільки вектор діючого тут струму відстає від вектора напруги на кут

Одна з паралельних віток (Z₂) кола має активно-індуктивний характер навантаження. Тут кут зсуву фаз між векторами і додатний:

В іншій паралельній вітці (Z₃) характер навантаження активно-ємнісний і кут зсуву фаз між та є від’ємний –

У сукупності ж ділянка кола, що складається з двох паралельних віток 2 та 3, має активно-індуктивний характер навантаження. Тут відстає від на кут