Задача 3. Розрахунок трифазного електричного кола синусоїдного струму.

Провести розрахунок трифазного електричного кола синусоїдного струму стандартної частоти (f = 50 Гц), активний r, індуктивний L та ємнісний C приймачі якого з’єднані зіркою та трикутником. Живлення приймачів здійснюється від спільного джерела симетричної лінійної напруги U_л (рис.3.1).

3.1. Обсяг завдання. У відповідності до варіанта:

1. намалювати схему заданого електричного кола, включивши в нього тільки ті елементи, значення яких задано в табл.3.1 та табл.3.2;

2. визначити лінійні і фазні струми споживачів і джерела розрахункової схеми;

3. правильність обчислення струмів підтвердити складанням балансу потужностей джерела та споживачів;

4. на комплексній площині побудувати векторні діаграми симетричних напруг джерела та суміщені векторні діаграми струмів та напруг з’єднань споживачів, а також лінійних струмів чотирипровідної мережі живлення (фазних струмів джерела);

5. використовуючи векторні діаграми, охарактеризувати навантаження фаз кожного з’єднання.

Таблиця 3.1.

Розрахункові дані	Число одиниць шифру
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Uл, В	220	380	127	110	230	400	130	220	380	230
ra, Ом	15	40	10	12	20	40	14	20	35	25
rb, Ом	40	10	12	20	40	35	16	24	40	20
rc, Ом	20	35	20	15	25	45	20	30	30	20
rn, Ом	5	8	5	8	5	8	5	8	5	8
rab, Ом	30	70	20	24	40	75	18	40	65	50
rbc, Ом	35	65	16	30	37	70	25	36	60	40
rca, Ом	40	75	22	15	45	65	20	30	55	45

Таблиця 3.2.

Розрахункові дані	Число десятків шифру
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
La, мГн	30	40	-	60	60	-	70	25	70	-
Lb, мГн	70	45	-	65	-	-	75	60	-	50
Lc, мГн	40	50	-	55	70	35	50	70	40	-
Ln, мГн	10	12	14	10	12	14	10	12	14	10
Lab, мГн	-	55	-	45	30	-	65	70	-	40
Lbc, мГн	-	60	-	50	50	50	60	-	35	-
Lca, мГн	-	70	-	60	85	-	75	60	40	35
Ca, мкФ	-	-	300	-	700	600	300	400	800	500
Cb, мкФ	-	-	400	-	650	650	-	-	300	-
Cc, мкФ	-	-	500	-	-	500	200	300	-	600
Cab, мкФ	300	-	350	-	300	550	-	-	300	-
Cbc, мкФ	400	-	450	-	-	400	100	200	-	400
Cca, мкФ	500	-	500	-	200	450	-	100	-	-

3.2. Вказівки до вибору варіанта. Згідно з останніми двома цифрами (одиниці та десятки) залікової книжки (шифру) параметри активних елементів та значення напруги вибрати за табл.3.1, а параметри реактивних елементів – за табл.3.2. Крім того, прийняти у парному році r_n = 0, а в непарному – L_n = 0.

3.3. Методичні вказівки до аналізу кіл трифазного струму. Багатофазна електрична система – це сукупність кількох електричних кіл (фаз), де діють створені спільним джерелом синусоїдні ЕРС однакової частоти, що зсунуті між собою за фазою. Найбільше поширення серед багатофазних отримала зв`язана трифазна система симетричних ЕРС, де діючі ЕРС зсунуті одна відносно другої на кут 120^°.

Фази джерела (трифазного синхронного генератора) звичайно з’єднують за схемою зірка. Фази споживача, куди можуть бути включені однакові або різні за величиною і фізичною суттю опори (відповідно симетричне або несиметричне навантаження), залежно від обставин з’єднують між собою за схемою зірка або трикутник.

Струми, що діють у фазах джерела ( ) або у фазах споживача ( ), називають фазними . Струми ( ), які діють у лінійних проводах, називають лінійними .

При з’єднанні у зірку відповідні лінійні і фазні струми дорівнюють один одному ( , , , ), а струм , що діє у нейтральному проводі, може бути визначений на підставі першого закону Кірхгофа:

.

Напругу між початком і кінцем фази джерела ( ) або споживача ( ) називають фазною . Але, для зручності, букви N і n в індексах фазних напруг джерела та споживача звичайно не вказують і записують ці напруги так: та . Якщо вважати, що опори лінійних і нульового проводів дорівнюють нулю, то може бути визначена як напруга між відповідним лінійним та нейтральним проводами.

Напругу між початками двох будь-яких фаз джерела ( ) або споживача ( ) називають лінійною . Якщо вважати, що опори лінійних проводів дорівнюють нулю, то лінійні напруги джерела будуть дорівнювати відповідним лінійним напругам споживача ( , , ) і при цьому може бути визначена як напруга між двома лінійними проводами.

Співвідношення між лінійними і фазними напругами можна визначити за другим законом Кірхгофа. Наприклад для джерела:

; ; .

Аналіз трифазних систем символічним методом звичайно починають з запису комплексів фазних і лінійних напруг джерела електричної енергії, прийняті значення яких залишають незмінними до повного завершення розрахунку. Так, сумістивши з дійсною віссю вектор будь-якої з фазних напруг джерела, наприклад , будують векторну діаграму фазних напруг (зірку фазних напруг – рис. 3.2) джерела і записують значення їх комплексів:

; ; .

З начення комплексів лінійних напруг джерела при цьому будуть:

;

;

.

В иконані алгебраїчні дії стосовно визначення лінійних напруг джерела показані на векторній діаграмі (рис. 3.3). Так, для отримання з кінця вектору відкладемо вектор , змінивши його напрям на протилежний. З’єднавши початок з кінцем отримують:

.

Аналогічним чином знаходять і .

Зі записів значень комплексів фазних і лінійних напруг джерела та векторної діаграми видно, що зірка лінійних напруг джерела повернута відносно зірки його фазних напруг на кут 30 в додатному напрямку. Інколи лінійні напруги на векторній діаграмі розміщують у вигляді трикутника (на рис.3.3 показані пунктиром), з центру тяжіння якого (нейтральної точки N) виходять вектори фазних напруг.

Оскільки у симетричного трифазного джерела всі фазні напруги за модулем дорівнюють одна одній і всі лінійні напруги також, то неважко переконатися, що для рівнобедреного трикутника зі сторонами, наприклад , у якого кути при основані дорівнюють 30, . Звідси випливає, що при лінійній напрузі джерела 660, 380 або 220 В його фазні напруги відповідно будуть: 380, 220 або 127 В.

За симетричного навантаження фаз споживача незалежно від схеми їх включення (зірка або трикутник), методика розрахунку системи по суті не відрізняється від методики розрахунку кола однофазного змінного струму.

Методику аналізу трифазної системи за несиметричного навантаження фаз споживача покажемо на прикладі числового розрахунку електричного кола, схема якого показана на рис.3.4. Тут два споживачі, один з яких з’єднаний у зірку (r_a=10 Ом, L_a=63,69 мГн, C_a=212,3 мкФ, L_b=79,62 мГн, C_b=90,99 мкФ, r_c=15 Ом, r_n=1 Ом, L_n=6,37мГн), а другий у трикутник (r_aв=10 Ом, r_bс=5 Ом, r_ca=14 Ом, L_bc=57,32 мГн, L_ca=58 мГн, C_bc=106,2 мкФ), підключені до спільного джерела трифазного струму, наприклад з лінійною напругою U=380 В, що в реальних умовах найбільше відповідає цеховим схемам електропостачання.

Вище було зазначено, що зірка комплексів лінійних напруг ( що зсунуті між собою на кут 120^°) джерела повернута відносно зірки комплексів його фазних напруг ( що також зсунуті між собою на кут 120^°) на кут 30^° та між модулями комплексів лінійних і фазних напруг (U_л і U_ф) діє співвідношення .

Оскільки за умовою задачі U_л=380 В, то модуль фазних напруг (В) джерела буде:

Розрахунок такого кола починають з запису комплексів фазних і лінійних напруг джерела трифазного струму.

Прийнявши, що комплекс однієї з напруг джерела, наприклад напруги фази А, збігається з віссю дійсних чисел комплексної площини, знаходять для розрахункової схеми комплекси фазних і лінійних напруг (В):

За одержаними значеннями у прийнятному масштабі М_u та вибраному розміщенні комплексів будують діаграми симетричних фазних та лінійних напруг джерела. Величину масштабу обов’язково вказують на комплексній площині, а вибране розміщення комплексів витримують незмінними до повного закінчення розрахунку.

Далі проводять, наприклад, аналіз споживача з’єднаного у зірку наступним чином.

За заданими значеннями індуктивностей L_ф і ємностей C_ф аналогічно розрахунку кола однофазного струму розраховують реактивні індуктивні та ємнісні опори (Ом), після чого записують комплекси повних опорів Z_ф = r_ф  jX_ф (Ом) фаз (a, b, c) і нейтрального проводу (n).

При заданих значеннях опорів знаходимо (Ом):

.

Оскільки розрахункова зірка має несиметричне навантаження фаз ( ), то у нейтральному проводі з’єднання діятиме струм (струм нейтрального проводу – ). До того ж, оскільки нейтральний провід має опір , то нейтральні точки джерела N і споживача n матимуть не однакові потенціали. Різниця цих потенціалів визначає величину вузлової напруги – напруги зміщення нейтралі зіркі:

.

Наявність напруги зміщення нейтралі, у свою чергу, призводить до так званого „перекосу” фазних напруг зіркі споживача – коли комплекс фазної напруги споживача не дорівнює відповідному комплексу фазної напруги джерела. Комплекси фазних напруг споживача при цьому розраховують за так:

.

Зверніть увагу: за симетричного навантаження фаз зірки струм у нейтральному проводі дорівнює нулю ; при відсутності опору нейтрального проводу напруга зсуву нейтралі дорівнює нулю , і комплекси фазних напруг споживача дорівнюють відповідним комплексам фазних напруг джерела .

Для розрахункової схеми комплекс напруги зсуву нейтралі та комплекси фазних напруг зірки споживача дорівнюють (В):

У разі з’єднання у зірку комплекс фазного струму дорівнює комплексу відповідного лінійного струму . Для розрахункової схеми комплекси фазних (лінійних) струмів та комплекс струму нейтрального проводу (А) визначають за законом Ома:

Правильність визначення струмів зірки перевіряють за першим законом Кірхгофа Якщо відносні розбіжності сум активних і реактивних складових суми комплексів фазних струмів

та струму нейтрального проводу не перебільшують ±1,0 %:

розрахунок схеми можна продовжувати далі. У іншому випадку потрібно зробити перевірку раніше виконаних дій.

Комплекси повної потужності (ВА), активні (Вт) і реактивні потужності (вар) фаз споживача, а також нейтрального проводу і з’єднання у зірку в цілому визначають за формулами:

Для розрахункової схеми значення цих величин будуть такі (ВА):

За результатами розрахунків будують суміщену векторну діаграму струмів та напруг зірки (рис.3.5). Порядок побудови діаграми такий:

Спочатку у масштабі М_u будують зірку векторів фазних (як на рис.3.3) і трикутник лінійних напруг джерела. Далі з центра координат комплексної площини (з нейтральної точки N джерела) будують вектор зсуву нейтралі зірки і з’єднавши кінець вектора (нейтральну точку n споживача) з вершинами А, В, С трикутника лінійних напруг джерела (споживача), одержують вектори фазних напруг споживача.

Вектори фазних струмів споживача будують з точки n приймача, а вектор струму нейтрального проводу – із точки N джерела. На завершення - показують кути зсуву фаз у фазах зірки.

Зверніть увагу: за правильно виконаних розрахунків та правильно побудованої діаграми кут між вектором фазного струму і вектором відповідної фазної напруги споживача (кут зсуву фаз ) дорівнює аргументу комплексу повного опору цієї фази.

З аналізу векторної діаграми випливає, що фази споживача з’єднаного у зірку мають навантаження:

фаза а – активно-індуктивне, оскільки кут зсуву додатний:

;

фаза b – ємнісне, оскільки кут зсуву фаз від’ємний:

;

фаза с – активне, оскільки кут зсуву фаз дорівнює нулю:

.

Зверніть увагу: за правильно виконаних розрахунків та правильно побудованої діаграми кут між вектором фазного струму і вектором відповідної фазної напруги споживача (кут зсуву фаз ) дорівнює аргументу комплексу повного опору цієї фази.