3.2 Достатні умови існування екстремуму функції однієї змінної

Умовимося надалі говорити, що похідна при переході аргумента через критичну точку змінює знак у деякому її околі, якщо ліворуч від критичної точки похідна має один знак, а праворуч від неї – інший знак.

Відзначимо, що в розглянутому останньому прикладі (рис.6) похідна не змінює знак, коли аргумент переходить через критичну точку , що не є екстремальною. Похідні функцій , , із прикладів 2,3,4 змінюють знак, коли аргумент переходить через відповідні їм критичні точки.

3.2.1 Перша достатня умова існування екстремуму функції однієї змінної.

Сформулюємо першу достатню умову існування екстремуму.

Теорема 2. Нехай функція неперервна в точці , існує похідна у всіх точках зліва і справа від з деякого її околу. Якщо при переході аргумента зліва направо через похідна змінює знак з + на –, то – точка максимуму, а коли знак похідної змінюється з – на +, то – точка мінімуму.

Доведення. Нехай для визначенності при переході зліва направо аргументу через точку похідна функції змінює знак з + на – , тобто при якомусь для і , для . За визначенням похідної в будь-якій точці маємо

.

Якщо , то з граничної нерівності випливає, що для досить малих за абсолютною величиною виконується нерівність

.

Тоді , якщо , і , коли , тобто функція в деякому околі точки зростає. Це справедливо для всіх точок , тому функція зростає в інтервалі .

Для кожної точки за визначенням

.

За властивістю границі функції для досить малих за абсолютною величиною виконується нерівність

.

Якщо , то , коли ж , то , тобто функція спадає в околі точки . Так як - довільна точка з інтервалу , то спадає в цьому інтервалі.

Таким чином, у розглянутому випадку зростає в інтервалі , спадає в інтервалі . За умовою теореми неперервна в точці . Тоді значення в інтервалі найбільше, тобто в точці функція досягає максимуму. У випадку, коли похідна змінює знак з мінуса на плюс, доведення аналогічне.

Зауваження 1. Якщо похідна не змінює знак, коли аргумент переходить через критичну точку, то функція в цій точці не досягає ні максимуму, ні мінімуму. Дійсно, якщо в деякому околі критичної точки (крім самої точки ) похідна, наприклад, додатня, то з визначення похідної випливає, що для точок деякого околу, що лежать ліворуч від і для точок околу, що лежать праворуч від . А це означає, що функція не має екстремума в точці .

У випадку, коли похідна від'ємна в деякому околі критичної точки, аналогічно попередньому доводиться, що в цій точці функція не має екстремуму.

Зауваження 2. Відзначимо, що при доведенні теореми 2 було доказано, що зростає на інтервалі , якщо для и спадає на інтервалі , якщо коли .

Приклад 5. Знайти екстремум функції .

Розв'язування. Функція визначена і диференційовна на всій числовій осі. Її похідна

неперервна на всій осі і дорівнює нулю в точках, що є коренями квадратного рівняння

.

Розв'язуємо це рівняння і знаходимо корені , . Знайдені числа розділяють всю область визначення заданої функції на три інтервали: , , , у кожному з який похідна зберігає знак, тому що зміна знака відбувається тільки при переході аргумента через . Для визначення знаку похідної в кожнім інтервалі досить визначити її знак у деякій точці цього інтервалу. Наприклад, в інтервалі беремо точку , у цій точці , тому у всьому інтервалі похідна додатня. Аналогічно визначаємо, що для і , коли .

Якщо аргумент переходить через критичну точку зліва направо, похідна змінює знак із плюса на мінус, отже, у цій точці функція досягає максимуму:

.

У точці функція досягає мінімуму, тому що похідна змінює знак з мінуса на плюс, коли аргумент переходить через цю точку зліва направо.

Обчислюємо цей мінімум:

.

Графік функції зображений на рисунку 7.

Рис.7.

Приклад 6. Знайти екстремуми функції .

Розв'язування. Функція визначена і неперервна на всій числовій осі. Її похідна

існує в усіх точках числової осі, крім . Ця критична точка розбиває область визначення функції на два інтервали і .

Так як для всіх , а знак знаменника співпадає зі знаком аргументу , то похідна змінює знак із плюса на мінус при переході аргумента зліва направо через критичну точку. Отже, у точці функція досягає максимуму: .

Графік функції зображений на рисунку 8 .

Рис.8

Приклад 7. Дослідити на екстремум функцію .

Розв'язування. Функція визначена і неперервна на всій числовій осі.

Її похідна

існує і додатня в усіх точках числової осі, крім точки , в якій вона невизначена. Так як при переході аргументу через критичну точку похідна не змінює знак, то функція в цій точці екстремума не досягає. Графік функції зображений на рисунку 9.

Рис.9