3.4. Приклади знаходження найбільшого та найменшого значень функції однієї змінної при розв'язуванні прикладних задач

Приклад 15. Деяке тіло маси , установлене на каток за допомогою амортизатора та демпфера, переміщується поступально уздовж осі . Під дією гармонійного впливу виникають власні і змушені коливання тіла уздовж осі . При частоті зовнішнього впливу , відмінної від частоти власних коливань тіла, змушені коливання описуються функцією

,

де – початкова фаза змушених коливань, – коефіцієнт демпфірування, – амплітуда зовнішнього впливу. Знайти, при якому значенні частоти амплітуда змушених коливань буде найбільшою.

Рис. 12

Розв’язування. Амплітуда змушених коливань залежить від частоти зовнішнього впливу і приймає найбільше значення при такому значенні , при якому підкореневий вираз в знаменнику найменший.

Таким чином, задача звелася до знаходження найменшого значення функції

, де .

Знаходимо першу похідну цієї функції по змінній і прирівнюємо її до нуля, маємо

.

Розв’язавши отримане рівняння відносно , визначаємо його корені

, , .

Відзначимо, що з фізичного змісту реального руху під дією гармонійного впливу випливає, що , . Єдиною точкою, підозрілою на екстремум, є точка . При переході аргумента через цю точку зліва направо похідна змінює знак з мінуса на плюс, тобто в точці функція має мінімум. За теоремою 5, ця функція в точці має найменше значення, отже, амплітуда в цій точці має найбільше значення на множині , яке дорівнює (рисунок 13).

Відзначимо, що при амплітуда і буде мати місце резонанс.

Рис.13

Приклад 16. Тіло вагою , яке кинули з початковою швидкістю під кутом до горизонту, рухається під впливом сили ваги й опору повітря , що пропорційний добутку швидкості на силу: . Закон руху тіла є

. (3.3)

Визначити найбільшу висоту тіла над його рівнем початкового знаходження.

Рис.14

Розв’язування. Визначити найбільшу висоту польоту – це означає знайти найбільше значення функції (3.3), заданої на сегменті , де – час польоту тіла.

Знаходимо критичні точки функції:

, ,

, .

Так як друга похідна в точці від’ємна, то в цій точці функція досягає максимуму. Відзначимо, що в точках , функція дорівнює нулю, тому її максимум і є найбільшим значенням функції.

Це означає, що тіло досягає найбільшої висоти, яка дорівнює , в момент часу .

Приклад 17. Завод А знаходиться від залізниці, що йде з півдня на північ і проходить через місто В, на відстані км, якщо вимірювати по найкоротшій відстані. Під яким кутом варто побудувати під'їзну колію від заводу до залізниці, щоб транспортування вантажів із заводу А в місто В було найбільш економним, якщо вартість провозу тонни вантажу на відстань 1 км складає по під'їзній колії грн, по залізниці – грн і місто розташоване на км північніше заводу ?

Рис.15

Розв’язування. При вибраному куті , , визначимо довжину під'їзної колії і довжину ділянки залізничної колії , по яких передбачається транспортувати вантаж із заводу в місто. Маємо:

, .

Вартість провозу 1 тонни вантажу по цьому маршруті обчислюється за формулою:

.

Задача визначення найбільш економного розташування під'їзної колії звелася до знаходження найменшого значення функції , що визначає вартість провозу і залежить від кута .

Визначимо екстремум функції

.

Для цього прирівняємо до нуля похідну функції по і розв’яжемо одержане рівняння:

, , .

Похідна змінює знак з мінуса на плюс при переході аргумента зліва направо через критичний кут . Це означає, що функція вартості провозу приймає мінімальне значення, яке дорівнює

,

коли .

Якщо , то , якщо , то . Порівнюючи знайдені значення функції, одержуємо, що найбільш економно побудувати під'їзну колію під кутом до залізниці.

Приклад 18. Знайти висоту і радіус закритого циліндричного бака максимальної місткості, якщо на його виготовлення заготовлено м матеріалу.

Розв’язування. Нехай висота циліндра дорівнює і радіус основи дорівнює . Об’єм циліндра визначається за формулою і залежить від змінних і . Складемо ще рівняння, що зв'язує змінні і , скориставшись формулою повної поверхні циліндричного бака й умовою приклада:

.

Звідси, виразивши через , маємо

.

Підставимо це значення у вираз для об’єму циліндра і одержуємо

.

Очевидно, що змінна може приймати значення з інтервалу . Наша задача звелася до знаходження найбільшого значення функції на інтервалі . Так як

,

то на розглядуваному інтервалі у функції існує одна критична точка .

Друга похідна у цій точці від’ємна, тоді виходить, що при функція має максимум. За теоремою 5 цей максимум і є найбільшим значенням функції на інтервалі .

Таким чином, при зазначених в прикладі умовах, бак має найбільший об’єм тоді, коли радіус основи дорівнює 2м, а висота – 4м. Об’єм такого бака дорівнює 16 м .

Рис.15а

Розглянуті приклади ілюструють широке та різноманітне коло задач, розв'язування яких зводиться до знаходження екстремумів функцій однієї змінної.

Ще значно більше використовуються при розв'язуванні прикладних і теоретичних задач методи знаходження екстремумів функцій двох чи декількох змінних, що викладаються далі.