3.5. Приклади та задачі для самостійної роботи.

Знайти найбільше та найменше значення функції на заданих відрізках:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , ;

11) , ;

12) , ;

13) , ;

14) , ;

15) , ;

16) , ;

17) , ;

18) , ;

19) ,

;

20) , .

Розв‘язати задачі:

21. Число 36 розкласти на два таких множники, щоб сума їхніх квадратів була найменшою.

22. Знайти таке додатнє число, щоб сума цього числа та оберненого до нього була найменшою.

23. Число 16 розбити на два такі додатні доданки, щоб їх добуток був найбільшим.

24. Знайти сторони прямокутника найбільшого периметра, вписаного в напівколо радіуса 6 м.

25. З усіх прямокутників даної площі визначити той, периметр якого найменший.

26. Знайти прямокутний трикутник найменшої площі, якщо сума його катета та гіпотенузи дорівнює .

27. Знайти найкоротшу відстань від точки до параболи .

28. У напівкулю радіуса вписаний паралелепіпед із квадратом в основі. Визначити розміри сторін паралелепіпеда найбільшого об'єму.

29. Підприємство може випускати не більш 1000 виробів. Залежність прибутку підприємства від кількості виробів, що випускаються, задається функцією .

Знайти максимальний прибуток, що може одержати підприємство і яку кількість виробів потрібно для цього випустити.

30. Прибуток банку залежить від обсягів наданих кредитів слідуючим чином: , де кредити виміряються в мільйонах гривень. Знайти максимальний прибуток банку, якщо цей банк може надати не більше 1250000 гривень кредиту.

Глава 4. Екстремуми функції двох змінних.

Так само, як і у випадку функцій однієї змінної, для функцій двох змінних варто розрізняти задачу знаходження екстремумів і задачу знаходження найбільшого і найменшого значень функції на деякій підмножині площини. Дамо визначення екстремуму функції двох змінних і розглянемо першу із згаданих задач.

Нехай функція двох змінних визначена в деякій області площини.

Визначення 4. Функція має в точці області максимум (мінімум), якщо існує такий окіл цієї точки, який належить області , що для всіх точок цього околу, відмінних від , виконується нерівність

.

Точка називається екстремальною точкою, а максимуми і мінімуми функції називаються екстремумами.

Як зрозуміло з визначення, екстремальні точки – це внутрішні точки області , а самі поняття максимуму і мінімуму – локальні, визначаються щодо деякої підмножини області . Їх не слід змішувати з найбільшим і найменшим значеннями у всій області визначення. Наприклад, функція визначена на всій площині і має в точці максимум, але цей максимум не є найбільшим значенням, тому що функція приймає як завгодно великі значення в точках площини.