3.2.4. Приклади для самостійної роботи.

Знайти екстремуми функцій однієї змінної за допомогою другої достатньої ознаки:

1)

2)

3)

4)

5) ,

6) ,

7)

8)

9) ,

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17) ,

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30) ,

3.3 Знаходження найбільшого та найменшого значень функції

однієї змінної

1. При розв'язуванні багатьох теоретичних і прикладних питань важливої є друга з перерахованих задач глави 3 — знаходження найбільшого і найменшого значень неперервної функції. Ця задача тісно зв'язана з знаходженням екстремумів функції.

Якщо найбільше (найменше) значення функції досягається у внутрішній точці області визначення неперервної функції, тоді це є максимумом (мінімумом) функції, тому що нерівність ( ), що виконується для всіх точок області визначення, вірна і в деякому околі точки .

Але, як уже відзначалося раніш, екстремум функції не завжди є найбільшим чи найменшим значенням функції в області її визначення.

У випадку, описаному нижченаведеною теоремою, екстремальне значення функції є її найбільшим чи найменшим значенням.

Теорема 5. Якщо функція визначена і неперервна на проміжку і має єдиний екстремум, то відповідне значення функції буде найменшим або найбільшим, у залежності від того, чи буде цей екстремум мінімумом, чи максимумом.

Доведення. Нехай у функції існує єдиний екстремум у точці і цей екстремум є максимумом. Допустимо, що в деякій точці виконується нерівність . Функція неперервна на сегменті і за теоремою Вейєрштрасса приймає на цьому сегменті найменше значення в деякій точці . Ця точка не може співпадати ні з , ні з . Це означає, що в проміжку існує не один екстремум, що суперечить умові теореми. Тому для кожної точки з нашого проміжку, тобто – найбільше значення.

Аналогічно доводиться випадок, коли екстремум є мінімумом.

2. Розглянемо питання про знаходження найбільшого і найменшого значень неперервної функції, визначеної на сегменті .

За теоремою Вейєрштрасса, неперервна функція на сегменті досягає найбільшого і найменшого значень у деяких точках сегмента. Якщо це внутрішні точки, то найбільше і найменше значення необхідно є екстремумами функції. Але найбільше і найменше значення функції можуть досягатися і в кінцевих точках сегмента.

Звідси випливає, що знаходження найбільшого і найменшого значень функції на сегменті зводиться до обчислення всіх її екстремальних значень і значень і ; найбільше з усіх цих чисел буде найбільшим значенням функції, найменше з усіх чисел – найменшим значенням функції на сегменті.

Надалі найбільше значення функції на сегменті будемо позначати через , найменше – .

Зауваження 1. Якщо функція монотонно зростає чи монотонно спадає на сегменті , то найбільше і найменше значення функцією досягається в кінцевих точках сегмента.

Зауваження 2. В силу теореми 5, неперервна на сегменті функція, що має в деякій внутрішній точці сегмента один экстремум, приймає в цій точці найбільше значення у випадку максимуму і найменше – у випадку мінімуму.

Зауваження 3. Якщо функція визначена і неперервна на декількох сегментах, що не перетинаються, то для знаходження її найменшого та найбільшого значень потрібно знайти найменше і найбільше значення функції на кожнім із сегментів і з цих чисел вибрати найменше та найбільше.

Приклад 11. Знайти найбільше і найменше значення функції на сегменті .

Розв'язування. Знаходимо похідну функції, вона існує у всіх точках інтервалу і дорівнює . Прирівнюємо нулю похідну і визначаємо критичні точки функції:

; ; , .

Обчислюємо значення функції в критичних і в кінцевих точках сегмента:

, ,

, .

Таким чином, найбільше значення функції досягається в точці , а найменше значення досягається в точці .

Приклад 12. Знайти найбільше і найменше значення функції на сегменті .

Розв'язування. Функція неперервна на сегменті . Похідна функції в точці не існує і не дорівнює нулю на інтервалі . Це критична точка функції . При переході через цю точку зліва направо похідна змінює знак з мінуса на плюс, тому функція в точці має мінімум. Так як на розглянутому сегменті у функції існує єдиний екстремум – мінімум, то знайдений мінімум і є найменшим значенням функції на сегменті. Це найменше значення дорівнює 2, найбільше значення функції дорівнює і досягається в кінцевих точках сегмента: , .

Приклад 13. Знайти найбільше і найменше значення функції на сегменті .

Розв'язування. Функція неперервна на сегменті , її похідна додатня в усіх , тому функція монотонно зростає на цьому сегменті. Найбільше значення функція приймає в точці , а найменше – в точці .

3. Нехай функція визначена і неперервна на інтервалі (чи напівінтервалі). Тоді вона може і не досягати свого найменшого і найбільшого значень на цьому інтервалі (напівінтервалі), тому що в цьому випадку умови теореми Вейєрштрасса про найбільше і найменше значення функцій не виконуються.

Однак, якщо екстремум на розглянутому інтервалі (напівінтервалі) єдиний, то за теоремою 5 це буде найбільше значення у випадку максимуму і найменше значення у випадку мінімуму.

Зауваження 4. Якщо функція монотонно зростає чи монотонно спадає на напівінтервалі, то в кінцевій точці напівінтервалу вона досягає або найменшого, або найбільшого значення.

Приклад 14. Знайти найменше значення функції .

Розв'язування. Функція має областю визначення інтервал і усюди на ньому диференційовна, причому . Прирівнюємо похідну до нуля і з одержаного рівняння знаходимо :

, .

Далі

і .

Отже, в точці функція досягає мінімуму; так як цей мінімум є єдиним екстремумом, то він співпадає з найменшим значенням функції, що дорівнює .