17.2. Упругопластический расчет стержня при действии продольной силы

 

Рис.17.2

               

Определить перемещение сечения А ступенчатого стержня изо­браженного на рис.17.2, а при различных стадиях его деформиро­вания при нагруже­нии его силой Р. Диа­грамма деформирова­ния изображена на рис.17.2, б.

Решение:

В данном случае все составляющие тензо­ра напряжений и де­формаций за исклю­чением _х и _х тож­дественно равны ну­лю. При этом участок АС испытывает растяжения, а участок АВ  сжатие.

Следует выделить следующие этапы работы конструкций.

На первом этапе, участки АС и АВ деформируются в упругой стадии, т.е.:

 при  .                                                                                                         (17.8)

На втором этапе, один из участков АВ или АС переходит в упругопластическую стадию деформирования. И, наконец, когда оба участка АВ и АС деформируются в упругопластической стадии.

Связь между _х и _х в упругопластической стадии деформи­рования согласно диаграмме  записывается в виде:

  при  .                                                                            (17.9)

На первом этапе нагружения, когда в обоих участках материал конструкции деформируется по закону Гука, учитывая, что система один раз статически неопределима усилия N обоих участков опре­деляется обычными приемами. Из условий равновесия имеем:

-N₁ + N₂ = P.                                                                                                                                   (17.10)

Учитывая, что стержни верхним и нижним концами жестко закреплены, его абсолютное удлинение должно быть равно нулю, т.е.:

,

откуда

.                                                                                                                    (17.11)

В результате совместного рассмотрения (17.10) и (17.11) получим:

                                                                                                         (17.12)

Перемещение сечения А будет следующим:

.                                                                                                  (17.13)

В упругой стадии работы конструкции значения напряжения на первом и втором участках соответственно принимают значения:

    .                                                                        (17.14)

Так как  , то соотношения (17.1217.14) будут справед­ливы до тех пор, пока напряжения на первом участке не достигнет значения  .

Из выражения (17.14), принимая  , определяем величину силы Р, при которой нижний участок с номером I переходит в пластичное состояние, а верхний участок с номером II остается уп­ругим:

.                                                                                                                                (17.15)

Для второго этапа нагружения, необходимо преобразовать урав­нения совместности деформаций:

.                                                                                                                                 (17.16)

Выражение (17.9) представим в виде:

.                                                                                                              (17.17)

Тогда

.                                (17.18)

Подставляя (17.18) в (17.16) получим:

.                                                                                     (17.19)

Совместно решая (17.19) с уравнением равновесия (17.10) полу­чим:

                                                                                  (17.20)

Принимая в (17.20) Е = Е₁, можно убедиться, что из (17.20) сле­дуют упругие решения (17.14).

Перемещая сечения А на данном этапе нагружения определяет­ся по формуле:

.                                        (17.21)

Переходим к решению поставленной задачи на третьем этапе нагружения. Принимая   из второго выражения (17.14) оп­ределим значения внешней силы, при которой второй участок пере­ходит в пластическую стадию деформирования:

, откуда  .                                                                                                  (17.22)

На третьем этапе нагружения, т.е.   абсолютное удли­нение второго участка определяется:

.              (17.23)

Подставляя (17.23) и (17.18) в (17.16) получим:

.                                                                                                            (17.24)

В результате совместного рассмотрения (17.24) и (17.10) определя­ется:

  .                                                      (17.25)

Принимая Е = Е₁ из (17.25) получим решение задачи в упругой постановке, которая полностью согласуется выражением (17.12). Пе­ремещение сечения А на третьем этапе нагружения определяется по выражению:

Если в последнем варианте предположить Е = Е₁, то отсюда следует решение в упругой постановке задачи, и полностью совпа­дающей с решением (17.13).