18.3. Предельное состояние статически определимых систем при изгибе

 

Для систем, работающих преимущественно на изгиб, разрушение сечения опреде­ляется в основном величиной изгибающего момента.

Рассмотрим предельное состояние балки с двумя шар­нирно опертыми концами, от действия силы P, приложен­ной в середине пролета. В статически определимой бал­ке (рис.18.3), как известно, нормальные напряжения в поперечных сечениях в упру­гой стадии, изменяются по высоте сечения по линейному закону и пропорциональны величине изгибающего мо­мента.

Рис.18.3

               

В опасном сечении при достижении напряжений в крайних волокнах величины  , заканчивается упругий стадия работы и величина изгибающего мо­мента по теории допускаемых напряжений будет определяться сле­дующими известными соотношениями:

,                                                                                                            (18.10)

откуда допускаемое значение внешней силы вычисляется по:

,                                                                                                                              (18.11)

где W  момент сопротивления поперечного сечения балки. Для прямоугольного сечения  где b,h  размеры поперечного сечения (рис.18.3, б).

Таким образом, при расчете балки (рис.18.3, а) по теории до­пускаемых напряжений, допускаемое значение внешней силы, оп­ределяется по:

.                                                                                                                         (18.12)

Однако, очевидно, что при  , вычисленной по формуле (18.12), заданная балка далеко не исчерпала свою несущую способ­ность. При увеличении нагрузки, пластические деформации прони­кают вглубь сечения, вплоть до появления в нем пластического шарнира, т.е. состояния сечения, при котором все ее точки пере­шли в пластическое состояние. В пластическом шарнире момент достигает предельной величины, когда эпюра нормальных напря­жений во всех точках в опасном сечении принимает значение   (рис.18.3, б).

Рис.18.4

 

Согласно диаграмме дефор­мирования материала по Пран­дтлю, продольные волокна бал­ки в этом сечении испытывают беспредельно возрастающие де­формации. В этих условиях можно говорить о формирова­нии пластического шарнира в сечении, который превращает данную балку в механизм (рис.18.4). Это означает, что с возникновением пластического шарнира про­исходит полное исчерпание несущей способности балки, т.е. задан­ная система разрушается. Величину силы, вызывающую образова­ние в балке пластического шарнира, называют предельной си­лой метода предельного состояния.

Значение предельной силы определяется из условия равенства моментов внутренних и внешних сил для опасного срединного се­чения балки:

;      ,                                                        (18.13)

откуда получим:

.                                                                                                                           (18.14)

Величина   называется пластическим моментом сопро­тивления, значения которого в случае прямоугольного сечения бы­ло определено в п.17.3.

Если сравнить величину предельной силы, определенной по методу допускаемых напряжений и по методу предельного равно­весия, то получим, что  .

Из приведенного примера следует, что для расчета изгибаемых элементов по методу предельного состояния, необходимо предвари­тельно определить пластический момент сопротивления в сечениях пластических шарниров.

В таблице 18.1 приведены значения отношения   для неко­торых стандартных форм сечений.

                                                                                                                                                                             Таблица 18.1

Форма сечения
	1,16	1,27	1,50	1,70	2,00