Введение

Математический анализ — раздел математики, в котором, по определению Фридриха Энгельса, изучаются количественные отношения действительного мира. Математический анализ является основой высшей математики. Он охватывает те разделы математики, которые опираются на понятие функции и на идеи исчисления бесконечно малых.

Развитие математического анализа началось еще в XVI веке и продолжается до наших дней, постоянно обогащаясь новыми более совершенными методами и фактами. В разное время задачами математического анализа занимались многие великие математики. Их имена увековечены в названиях методов, теорем, признаков, правил, с которыми вы познакомитесь в процессе изучения курса математики.

Основными понятиями математического анализа являются понятия: величины, функции, предела, производной и интеграла. Изучение задач, связанных с этими понятиями, привело к образованию двух основных частей математического анализа — дифференциального и интегрального исчислений, являющихся базовыми в математической подготовке инженера.

В контрольную работу № 2 входят задачи из разделов «Введение в математический анализ» и «Дифференциальное исчисление функций одной переменной». Условия задач следует взять из источника [1], а теоретические сведения — из источников [2, 3].

1. Введение в математический анализ

Первое, с чем сталкиваются исследователи в научной и практической деятельности в разделе «Введение в математический анализ», являются величины.

Под величиной в математике понимают те свойства и качества предметов и явлений, которые можно выразить числом: длина, площадь, объем, температура, теплоемкость, цена товара, время и т.п. Нельзя отнести к величинам, например, красоту явления, характер человека и т.п.

Изучая величины, обычно абстрагируются от их конкретной природы и рассматривают только их численные значения. После чего полученные результаты становятся применимыми к величинам любой природы в различных областях человеческой деятельности: в механике, физике, инженерном деле, экономике и т.д.

Все величины подразделяют на постоянные и переменные. Постоянные величины обычно обозначают либо числами (1, 2, 3, …; 0,725; ; е, …), либо первыми буквами латинского алфавита (a, b, c, d, …). Переменные величины обычно обозначают последними буквами латинского алфавита (x, y, z, t, …). Постоянные и переменные величины можно изображать точками на числовой оси Оx. При этом множество значений x, удовлетворяющих неравенству а < x < b, называют открытым интервалом и обозначают в виде (a; b). Таким образом, в сокращенной записи получим (a; b)  {x: a < x < b}.

Аналогично определяются и понимаются множества:

[a; b]  {x: a  x  b};

[a; b)  {x: a  x < b};

[a; +)  {x: a  x < +};

(–; a]  { x: – < x  a};

(–;+) = R  { x: – < x < +} и т.д.

Подробное описание этих понятий можно найти в источнике [2, § 13].

1.1. Способы задания функций

Термин функция появился впервые у Г.В. Лейбница еще в XVII веке. Обозначение функции в виде y = f(x) начал использовать Л. Эйлер в XIX веке. С понятием функции одного переменного можно ознакомиться в [2, § 14]. Мы будем рассматривать числовые функции одного переменного x: y = f(x) или y = y(x). Область определения (задания, существования) такой функции будем обозначать через D(y), а область изменения (значений) — через E(y).

Наиболее используемые способы задания функций приведем в таблице 1.

Таблица 1. Основные способы задания функций

Название способа	Чем задана функция y = y(x)	Форма задания
1. Аналитический (наиболее употребляемый)	Аналитическим выражением (формулой)	y = f(x) — явная F(x, y) = 0 — неявная — параметрическая (t — параметр)
2. Графический (наглядный, рис. 1)	Графиком (в системе координат)	Рис. 1. Графический способ
3. Табличный	Таблицей
			x	x1	x2	…	xn
			y	y1	y2	…	yn