2.3. Производные высших порядков

Кроме производной y, которую называют производной первого порядка, используют производные второго y= , третьего y = и т.д. порядков, которые называют производными высших порядков. Эти производные определяют по правилу

y = (y),

y = (y), (13)

… … … …

y⁽ⁿ⁾ = (y^(n-1)).

С помощью этого определения находят производные высших порядков, применяя обычные правила дифференцирования при любом аналитическом способе задания функции. Рассмотрим отыскание производной второго порядка на конкретных примерах.

Пример 13 [1, к задачам № 91-100].

Найти y для функции: y = 6x⁴ + 3 sin 3x – e^5x + 3x + 2.

Решение

Функция задана явно. Сначала найдем производную первого порядка

y = (6x⁴ + 3 sin 3x– e^5x + 3x +2) = 24x³ + 3 cos 3x3 – e^5x 5 + 3) =

= 24x³ + 9 cos 3x – 5 e^5x + 3.

А теперь по определению (13) найдем производную второго порядка y = (y) = (24x³ + 9 cos 3x – 5 e^5x + 3) = 72x² – 27 sin 3x – 25 e^5x.

Пример 14 [1, к задачам № 91-100].

Найти y для функции: x² + 7y² – 6 cos y – 4e^x + 2 = 0.

Решение

Функция задана неявно. Для отыскания y дифференцируем равенство x² + 7y² – 6 cos y – e^3x + 2 = 0, учитывая, что y является функцией переменной x. В результате получаем

2x + 14 y y– 6 (–sin y) y – 3 e^3x = 0.

Отсюда находим

(14)

По определению (13):

Учитывая (14), заменяем y на и получаем окончательный результат.

Пример 15 [1, к задачам № 91-100].

Найти y для функции

Решение

Функция задана параметрически. Производная первого порядка была найдена в примере 12:

Производную второго порядка мы вновь находим с помощью определения (13). Но найти сразу не удастся, так как явно зависит от переменной t, а дифференцирование ведется по переменной x. Поэтому, применяя правило дифференцирования сложной функции, а затем — обратной функции, получим

или

(15)

Для нашего примера

и после арифметических преобразований получаем

(16)

Если в формуле (15) найти производную по правилу дифференцирования дроби, то получим формулу

(17)

В качестве примера найдите по формуле (17) для функции

и сравните с результатом (16).

2.4. Правило Лопиталя

Производные первого и высших порядков имеют многочисленные применения. Рассмотрим применение производной к вычислению пределов.

Пусть в процессе x  x₀ имеем неопределенность вида или .

Тогда, как следует из [2, § 25.2], имеет место формула

, (18)

которую называют правилом Лопиталя.

Разумеется, для использования этой формулы должен существовать предел отношения производных.

Пример 16. Найти предел:

.

Решение

= ? Очевидно, имеем неопределенность вида , значит, можно воспользоваться правилом Лопиталя.

По этому правилу находим

Пример 17. Найти предел: .

Решение

= ? При x  +∞: 6x + 5  +∞, e^3x  +∞ значит имеем неопределенность вида . По правилу Лопиталя получим:

, поскольку знаменатель  +∞.

Формулой (18) можно пользоваться и для раскрытия неопределенностей иного вида, например, (0∞), (∞ – ∞) и др. Такие неопределенности надо предварительно преобразовать к виду или . Для этого часто бывает достаточно тождественных преобразований под знаком предела [2, с. 169, 170].