1.4. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Во всех рассмотренных ранее предельных процессах рассматривают пределы функции y = f(x). Эти пределы обозначают соответственно символами:

, , ,

, , .

Определения этих пределов даны в учебнике [2, § 16].

Предел называют пределом функции f(x) в точке а,

= f(a – 0) — пределом функции f(x) в точке а слева (левосторонним пределом),

= f(a + 0) — пределом функции f(x) в точке а справа (правосторонним пределом).

Между этими тремя пределами существует тесная связь. Выразим ее в следующей важной теореме.

Теорема (о связи между пределом функции в точке и её односторонними пределами):

 f(a – 0) = f(a + 0), (4)

т.е. для существования предела функции в точке x = a необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны между собой левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке.

Следует помнить, что всякий предел, если он существует, — это число.

Отметим два важных случая в теории пределов.

1. Если

, (5)

то функцию (x) называют бесконечной малой (б.м.) при x  x₀. Вместо формулы (5) в этом случае записывают: (x)  0 при x  x₀. Например, функция ₁(x) = x² – 1 будет б.м. при x  1, а функция ₂(x) = sin x будет б.м. при x  0.

Примечание 1. В определении б.м. x₀ может быть конечным числом а, а может означать бесконечность. Так, например, функция ₃(x) = 1/ x² будет б.м. при x  , x  –, x  +.

2. Если при x  x₀ абсолютное значение функции (x) неограниченно возрастает, то эту функцию называют бесконечно большой (б.б.) при x  x₀ и записывают: или (x)   при x  x₀. Например, функция будет б.б. при x  1, а функция — б.б. при x  .

Примечание 2. Если в процессе x  x₀ (x)   и начиная с некоторого значения x функция (x) становится положительной, то пишут (x)  + при x  x₀ или .

Например, .

Аналогично понимают ситуацию (x)  – при x  x₀ или .

Например, .

Примечание 3. Между б.м. и б.б. функциями имеется тесная связь: в одном и том же процессе функция, обратная б.м., будет б.б., а функция, обратная б.б., — б.м. Символически эти утверждения будем записывать в виде

, (6)

. (7)

Следует иметь в виду, что в формуле (6) речь идет не о делении на ноль (такая операция, как известно, не имеет смысла), а о том, что когда знаменатель дроби стремится к нулю, а числитель нет, то дробь неограниченно возрастает. Аналогично понимается формула (7).

1.5. Нахождение предела функции при x  a, x  a – 0, x  a + 0

Предел функции — это число. С помощью определения предела [2, §16] это число не находят, а только убеждаются, что конкретное число является пределом. Для нахождения предела используют свойства пределов [2, §17]. Из этих свойств следует, что для отыскания предела функции в процессах x  a, x  a – 0, x  a + 0 надо подставить под знак предела значение x = a. Например:

1) ;

2) ;

3) ;

4) для функции

(8)

y(2 – 0) = ,

y(2 + 0) =

В подобных ситуациях никаких сложностей не возникает. Однако иногда появляются ситуации, которые в теории пределов принято называть неопределенностями.

Так, например, при отыскании предела получаем, что P(a) = 0 и Q(a) = 0. Это означает, что при x  a и числитель, и знаменатель одновременно стремятся к нулю. В этом случае говорят о неопределенности вида «ноль, деленный на ноль» и записывают ее символически в виде . Аналогично понимаются неопределенности вида , (0∞), (∞ – ∞), (1^∞), (0⁰) и другие. Найти предел в такой ситуации будет означать: раскрыть указанную неопределенность.