2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Дифференциальное исчисление — раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций. В этом разделе рассматриваются действительные функции одного действительного переменного. Центральными понятиями дифференциального исчисления являются понятия производной и дифференциала, которые возникли еще в XVII веке в трудах английского математика И. Ньютона и немецкого — Г. Лейбница. Некоторые вопросы обоснования задач, связанных с понятием производной, были разработаны французским математиком О. Коши лишь в начале XIX века.

Дифференциальное и интегральное исчисления способствовали появлению ряда новых математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и др.

Благодаря дифференциальному и интегральному исчислениям неизмеримо расширилась область приложений математики к вопросам естествознания и техники.

2.1. Понятие производной

Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания, приводящих к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из них — определение скорости прямолинейного движения и построение касательной к кривой. Из этих задач появилось определение производной [2, § 20.6], с помощью которого легко находятся производные простейших элементарных функций [2, § 20.2]. Рабочая таблица производных приведена в приложении.

Примечание. 12 формул из этой таблицы для функций простого аргумента, т.е. из левого столбца, желательно выучить наизусть.

Для обозначения производной функции y = f (x) в точке x пользуются символами:

y, f (x), — введены Ж. Лагранжем в 1770 г.;

— введены Г. Лейбницем в 1675 г.;

— введены И. Ньютоном в 1665 г.

Производную функции y = f (x) в точке x = x₀ обозначают

.

Примечание. Операцию отыскания производной называют дифференцированием.

2.2. Правила дифференцирования. Дифференциал функции

Сначала надо научиться пользоваться таблицей производных. Особенно это касается производных от степенной функции. Для преобразования функции к виду, приведенному в таблице производных (см. приложение), используют различные тождественные преобразования, в том числе обычные свойства степеней:

1) ;

2) ;

3) x^m xⁿ = x^m+n;

4) ;

5) (x^m)ⁿ = x^{m n}.

Например:

1) ;

2) ;

3) (x³ x⁴) = (x⁷) = 7x⁶.

Далее надо научиться дифференцировать функции, образованные с помощью арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, т.е. научиться использовать формулы:

1) (u + – w) = u +  – w;

2) (u ) = u + u ;

3) (cu) = c u, где с = const;

4)

Например:

1) (sin x + х³ – 5) = (sin x) + (x³) – (5) = cos x + 3x²;

2) (5 tg x) = 5 (tg x) = ;

3) (3 ln x + 4 arctg x – 6x) = (3 ln x) + (4 arctg x) – (6x) =

= 3 (ln x) + 4 (arctg x) – 6 (x) =

=

4)

Для закрепления навыков желательно решить первые примеры задач № 81-90 из источника [1].

Далее отрабатываем правило дифференцирования сложной функции. Если y = f (z), где z =  (x), то

y_x = y_zz_x. (10)

Это правило позволяет переписать левый столбец таблицы производных (см. прил.) для функций простого аргумента x в виде второго столбца для функций сложного аргумента z =  (x). И теперь, при нахождении производной функции, следует сразу выяснить, какой у неё аргумент. В зависимости от этого сразу определяем, какой формулой и из какого столбца таблицы надо воспользоваться. Например:

(sin x) = cos x — по формуле (5) из левого столбца таблицы производных (аргументом функции является x);

(sin 5x) = cos 5x (5x) = cos 5x5 = 5 cos 5x — по формуле (5) из правого столбца таблицы (сложным аргументом у синуса является z = 5x);

(ln (3x² + 1)) = — по формуле (4.1) из правого столбца таблицы (сложным аргументом у логарифмической функции служит z = 3x² + 1);

(arctg 4x) = — по формуле (11) из правого столбца таблицы (сложным аргументом у арктангенса служит z = 4x).

Полученных знаний достаточно, чтобы решить примеры 2 и 3 задач № 81-90 из источника [1].

Для решения примера 4 из названных задач отработаем правило дифференцирования неявно заданной функции [1, с. 48]. Если функция y = y(x) задана неявно, т.е. уравнением (равенством), не разрешенным относительно у, то дифференцируем данное равенство по x (с учетом того, что у есть сложный аргумент z) и из полученного уравнения находим у.

Пример 10 [1, к задачам № 81-90, п. 4].

Найти производную функции, заданной равенством

6x³ + 4 sin y – x³ e^3y + 2 = 0.

Решение

Здесь функция у задана неявно. Дифференцируем данное равенство по x, и помним, что y = y(x) является функцией переменного x, а значит, ее можно считать сложным аргументом в заданном равенстве. Поэтому получаем

(6x³ + 4 sin y – x⁴ e^3y + 2) = (0),

18x² + 4 cos yy – ((x⁴)e^3y + x⁴(e^3y)) + 0 = 0,

18x² + 4 cos yy – (4x³ e^3y + x⁴e^3y3y) = 0,

18x² + 4 cos yy – 4x³ e^3y – x⁴e^3y3y = 0.

Отсюда находим:

y (4 cos y– 3x⁴ e^3y)= 4x³ e^3y – 18x²,

Пример 11 [1, к задачам № 81-90, п. 4].

Найти производную функции, заданной равенством

5x + 7y² – x²y³ + 10 = 0.

Решение

Действуем аналогично примеру 10

(5x + 7y² – x²y³ + 10) = (0),

(5х) + (7y²) – (x²y³)+ (10) = 0,

5 + 14 yy – (2xy³ + x^23y²y) = 0,

5 + 14 yy – 2xy³ – 3x²y²y = 0,

y(14 y– 3x²y²) = 2xy³ – 5,

Остановимся еще на правиле дифференцирования параметрически заданной функции. Если функция y = y(x) задана параметрически, т.е. с помощью системы равенств

то производная находится по формуле

(11)

Пример 12. Функция задана параметрически

Найти .

Решение

Так как то по формуле (11) найдем

Наряду с производной y функции y = f(x) важную роль в дифференциальном и интегральном исчислениях играет дифференциал dy. Его вычисляют по формуле

dy = ydx, (12)

где dx = x — приращение аргумента х. С определением и назначением дифференциала можно ознакомиться в источнике [2, § 24]. Мы приведем только несколько примеров на вычисление дифференциала, которые помогут при решении задач [1, № 81-90, п. 1].

Например:

1) y = x³, dy = ydx = (x³)dx = 3x²dx;

2) y = ln x, dy = ydx = (ln x)dx = ;

3) y = sin t, dy = y_t dt = (sin t)dt = cos t dt.