2. Классическое определение вероятности

Пусть пространство элементарных исходов состоит из конечного числа элементарных исходов и пусть все элементарные исходы равновозможны.

Тогда вероятностью случайного события называется число, которое вычисляется по формуле:

,

где – число исходов, благоприятствующих событию , – общее число элементарных исходов.

Свойства классического определения вероятности

1. Для любого случайного события справедливо неравенство

.

2. Вероятность невозможного события равна 0, т. е. .

3. Вероятность достоверного события равна 1, т. е. .

3. Элементы комбинаторики

Перестановкой из элементов называется всякое расположение данных различных элементов в определённом порядке. Число всех возможных перестановок из элементов

,

где .

Размещением из элементов по называется всякое упорядоченное расположение различных элементов из данных различных элементов. Число всех возможных размещений из элементов по

.

Сочетанием из элементов по называется всякий набор различных элементов из данных различных элементов. Число всех возможных сочетаний из элементов по

.

Размещением с повторениями из элементов по называется всякое упорядоченное расположение элементов (среди которых могут быть и одинаковые) из данных различных элементов. Число всех возможных размещений с повторениями из элементов по элементам

.

Правило суммы: если объект можно выбрать способами, объект – способами,…, объект – способами, причём выборы всех указанных объектов несовместны, то выбрать или , или ,…, или можно способами.

Правило произведения: если объект можно выбрать способами, объект (после того, как объект уже выбран) можно выбрать способами,…, объект (после того, как все предыдущие объекты уже выбраны) можно выбрать способами, то выбрать упорядоченный объект можно способами.

4. Геометрические вероятности

Классическую схему нельзя применить в случае бесконечного числа элементарных исходов. В некоторых задачах этот недостаток позволяет преодолеть геометрическое определение вероятности.

Пусть отрезок является частью отрезка . На отрезок наудачу ставится точка . Эта точка может как попасть, так и не попасть на отрезок . Рассмотрим событие {точка попала на отрезок }. Естественно предположить, что вероятность события пропорциональна длине отрезка и не зависит от расположения на . Тогда

.

Это геометрическое определение вероятности в одномерном случае.

В двумерном случае вероятность события ={точка, наудачу выбранная в области , попала в область , которая является частью } вычисляется по формуле

.

При этом предполагается, что вероятность попадания точки в область пропорциональна площади и не зависит ни от её формы, ни от расположения относительно .

Аналогично определяются геометрические вероятности в трёхмерном случае: .

5. Операции над случайными событиями

Сложение случайных событий

Суммой двух случайных событий и называется событие, которое состоит в наступлении или события , или события , или в совместном наступлении и .

Роль нуля при сложении случайных событий выполняет невозможное событие : , где − произвольное случайное событие.

Суммой нескольких случайных событий называется случайное событие, которое состоит в наступлении хотя бы одного из событий .

Умножение случайных событий

Произведением двух случайных событий и называется событие, которое состоит в совместном наступлении и . В частности, если и несовместные события, то . Роль единицы при умножении случайных событий выполняет достоверное событие : , где − произвольное случайное событие.

Произведением нескольких случайных событий называется событие, которое состоит в совместном наступлении всех этих событий.

Переход к противоположному событию

Противоположным событию называется событие , которое состоит в ненаступлении события . Очевидно, что противоположным событию является событие . События и несовместны и образуют полную группу.

Многие свойства операций над случайными событиями аналогичны соответствующим свойствам операций над действительными числами. Например, и для событий, и для чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения и умножения:

, ;

, .

Однако имеются и отличия. Например, если – число, то

.

Если же – случайное событие, то .