8. Вероятность произведения случайных событий
Из определения 1 условной вероятности следует, что
.
Таким образом, вероятность совместного наступления событий и равна произведению вероятности одного из этих событий и условной вероятности другого события при условии, что первое событие уже наступило.
Последняя
формула обобщается непосредственно на
случай произведения произвольного
числа событий
.
9. Зависимые и независимые случайные события
Событие
называется независимым
от события
,
если наступление события
не меняет вероятности события
,
т.е. если условная вероятность
равна вероятности события
:
.
В противном случае, то есть когда
,
событие
называется зависимым
от события
.
Некоторые свойства независимости событий
1). Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события . В этом случае события и называются просто независимыми событиями.
2). Правило умножения вероятностей двух независимых событий.
Если и – независимые события, то
,
т. е. вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.
3). Признак независимости двух событий.
Если для некоторых случайных событий и справедливо соотношение
,
то эти события являются независимыми.
4).
Если
и
– независимые события, то независимыми
также являются следующие события:
и
,
и
,
и
.
События
называются независимыми
в совокупности,
если:
а) они попарно независимы, то есть независимыми являются любые два события из данных;
б) независимыми являются каждое из данных событий и любое произведение остальных.
Пример.
События
являются независимыми, если независимы
события:
и
,
и
,
и
,
и
,
и
,
и
.
Замечание. Из попарной независимости не следует независимость в совокупности.
Вероятность совместного наступления нескольких независимых случайных событий, т.е. вероятность их произведения, равна произведению вероятностей этих событий:
.
10. Вероятность суммы совместных событий
Вероятность наступления суммы двух совместных событий, т.е. вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий и , равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:
.
Замечания
1). Эта формула справедлива как для совместных, так и для несовместных случайных событий, поскольку в случае несовместных событий
и
.
2).
Если события независимы, то
и, следовательно,
.
3).
Рассмотрим классический случай. Пусть
–
общее число равновозможных элементарных
исходов,
– число элементарных исходов,
благоприятствующих событиям
,
,
и
+
соответственно. Тогда согласно формуле
включений и исключений
.
Разделим обе части этого равенства на
:
.
Отсюда в соответствие с классическим
определением вероятности
.
4). Полученную формулу можно обобщить на случай нескольких совместных случайных событий. В частности, в случае трех случайных событий получим:
11. Формула полной вероятности
Пусть
событие
может наступить лишь совместно с одним
из попарно несовместных событий
.
Тогда
Эта
формула называется формулой
полной вероятности.
Замечания
1). События называются гипотезами по отношению к событию , так как заранее неизвестно, с каким из этих событий совместно наступит событие , но известно, что с каким-то одним из них оно обязательно наступит.
2). Условия применимости формулы полной вероятности часто формулируются так: от событий требуют, чтобы они представляли полную группу попарно несовместных событий, вместе с тем отказываются от требования, чтобы событие обязательно наступало с каждым из указанных событий.
3). При решении задач с использованием формулы полной вероятности эксперимент представляется происходящим как бы в два этапа. Гипотезы исчерпывают все возможные исходы первого этапа; событие – один из возможных исходов второго этапа.