12. Формулы Бейеса
Пусть
событие
может наступить лишь с одним из попарно
несовместных событий
и пусть известно, что в результате
испытания событие
наступило. Мы не можем достоверно
сказать, с каким именно из событий
наступило событие
,
однако можно поставить вопрос о
вероятности наступления одной из этих
гипотез при условии, что событие
наступило. В общем случае наступление
события
меняет вероятность гипотезы, то есть
.
Вероятности гипотез вычисляются по формулам Бейеса, которые имеют вид:
,
где
.
13. Последовательность испытаний. Схема Бернулли
В теории и на практике представляет интерес эксперимент, состоящий в последовательном проведении испытаний, в каждом из которых интересуются лишь наступлением или ненаступлением некоторого события .
Примеры
1). Трехкратное подбрасывание игральной кости, при этом событие {выпадение «6»}.
2).
Пятикратное извлечение игральной карты
из полной колоды, событие
.
Испытания называются независимыми от события , если вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний.
Примеры
1). Подбрасывания монеты – независимые испытания относительно выпадения герба.
2). Извлечение карты из колоды карт без последующего возвращения карты обратно в колоду – зависимые испытания относительно события .
Последовательность исходов испытаний представляет собой случайное событие, которое может быть записано в виде последовательности символов и , и называется сложным событием по отношению к событиям и , а события и – называются простыми по отношению к указанному сложному событию.
Пример.
Запись
означает сложное событие, состоящее в
том, что в 1-м и 3-м испытаниях серии
событие
наступило, а во 2-м, 4-м, 5-м – не наступило.
Такое сложное событие можно рассматривать
и как произведение событий, если считать,
что значение символа определяется его
местом в указанной последовательности
символов. В частности, данное сложное
событие можно рассматривать как
произведение
,
где событие
{наступление
события
в
-ом
испытании}.
Вероятность
того, что в
независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность события
одна и та же и равна
,
событие
наступит ровно
раз, может быть вычислена по формуле
Бернулли:
,
.
Число
,
при котором вероятность
принимает наибольшее значение, называется
наивероятнейшим
числом наступлений события
.
Наивероятнейшее число
наступлений события
в независимых испытаниях удовлетворяет
условию:
.
14. Предельные теоремы Лапласа, Пуассона и Бернулли
Локальная теорема Лапласа
Если
вероятность
события
в каждом испытании постоянна и отлична
от нуля и единицы, то вероятность
того, что событие
появится в
независимых испытаниях ровно
раз, при достаточно больших
может быть приближённо вычислена по
формуле
,
где
.
Погрешность
формулы тем меньше, чем больше величина
.
Практически этой формулой можно
пользоваться, если
.
Функции
чётная, а её значения приведены в таблице
1 приложения 2.
Интегральная теорема Лапласа
Если
вероятность
события
в каждом испытании постоянна и отлична
от нуля и единицы, то вероятность
того, что событие
появится в
независимых испытаниях не менее
раз и не более
раз, при достаточно больших
может быть приближённо вычислена по
формуле
,
где
.
Функция является нечётной и называется функцией Лапласа. Её значения приведены в таблице 2 приложения 2.
Погрешность данной приближённой формулы тем меньше, чем больше величина . Практически этой формулой можно пользоваться, если .
Теорема Пуассона
Если вероятность события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях ровно раз, при достаточно малых и достаточно больших может быть приближённо вычислена по формуле
,где
.
Теорема Бернулли
Если
вероятность
события
в каждом испытании постоянна и отлична
от нуля и единицы, то вероятность того,
что отклонение относительной частоты
события
от постоянной вероятности
по абсолютной величине не превысит
заданного числа
,
при достаточно больших
может быть приближённо вычислена по
формуле
.
Погрешность данной приближённой формулы тем меньше, чем больше величина . Практически этой формулой можно пользоваться, если .