Примеры решения задач

1. Классическое определение вероятности

1). Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы А, А, Р, М, получится слово РАМА?

Решение. Испытание представляет собой упорядоченное расположение (расположение в ряд) четырёх различных кубиков. Поэтому в качестве элементарного исхода испытания возьмём перестановку из четырёх различных элементов (кубиков). Тогда все элементарные исходы равновозможны, а их общее число .

Согласно правилу произведения число элементарных исходов, благоприятствующих событию {получится слово РАМА}, может быть вычислено по формуле , т.е. . В силу классического определения вероятности имеем .

Ответ: .

2). Из восьми карточек с буквами П, Р, И, П, Р, А, В, А (по одной букве на каждой карточке) наугад выбираются четыре и выкладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово ПАРА.

Решение. Испытание представляет собой упорядоченное расположение (расположение в ряд) четырёх карточек из данных восьми. В качестве элементарного исхода испытания возьмём размещение из восьми различных элементов (карточек) по четырём. Все элементарные исходы равновозможны, а их общее число .

Согласно правилу произведения число элементарных исходов, благоприятствующих событию {получится слово ПАРА}, может быть вычислено по формуле , т.е. . В силу классического определения вероятности имеем

.

Ответ: .

3). Для дежурства на вечере путём жеребьёвки выбирается пять человек. Вечер проводит комиссия, в составе которой 9 юношей и 3 девушки. Какова вероятность того, что в состав дежурных войдёт ровно 2 девушки?

Решение. Испытание состоит в неупорядоченном выборе 5 человек (дежурных) из 12 человек (членов комиссии). В качестве элементарного исхода возьмём сочетание из 12 элементов (членов комиссии) по 5. Все элементарные исходы равновозможны, а их общее число .

Двух девушек из трёх можно выбрать способами, а трёх юношей из девяти можно выбрать способами. Поэтому согласно правилу произведения число исходов, благоприятствующих событию {в состав дежурных войдёт ровно 2 девушки}, может быть вычислено по формуле .

В силу классического определения вероятности

.

Ответ:

4). Шестеро детей (три мальчика и три девочки) случайным образом садятся на шестиместную скамейку. Какова вероятность того, что мальчики и девочки будут чередоваться?

Решение. Испытание состоит в том, что шестеро детей наудачу рассаживаются на шестиместной скамейке. Пространство элементарных исходов можно строить по-разному.

Первый способ

В качестве элементарного исхода выбираем упорядоченное расположение шести детей, т.е. перестановку из шести элементов. Все элементарные исходы равновозможны, а их общее число

Мальчики и девочки будут чередоваться, если мальчики займут все чётные места, а девочки – все нечётные места, или наоборот. Мальчики могут расположиться на чётных (нечётных) местах способами и девочки могут расположиться на нечётных (чётных) местах способами. Используя правила суммы и произведения, несложно подсчитать число элементарных исходов, благоприятствующих событию {мальчики и девочки будут чередоваться}: . Согласно классическому определению вероятности

.

Второй способ

В качестве элементарного исхода возьмём набор (неупорядоченный) трёх мест, выбранных мальчиками, т.е. сочетание из шести элементов (мест) по три. Все элементарные исходы равновозможны, а их общее число .

Случайному событию {мальчики и девочки будут чередоваться} благоприятствуют только два элементарных исхода (набор чётных мест или набор нечётных мест).

Согласно классическому определению вероятности

.

Ответ: .

5). Из 11 букв слова ВЕРОЯТНОСТЬ наудачу выбраны 2 буквы (не обязательно разные). Какова вероятность того, что выбранные буквы либо обе гласные, либо обе согласные?

Решение. В качестве элементарного исхода выбираем неупорядоченный набор двух букв (не обязательно разных), т.е. сочетание из 11 элементов по 2. Все элементарные исходы равновозможны, а их общее число .

Две гласные буквы из четырёх (Е, О, Я, О) можно выбрать способами, а две согласные буквы из оставшихся 7 (В, Р, Т, Н, С, Т, Ь) – способами. Согласно правилу суммы число элементарных исходов, благоприятствующих событию {выбранные буквы либо обе гласные, либо обе согласные}, равно .

Согласно классическому определению вероятности

.

Ответ: .

6). Из колоды 36 игральных карт наудачу выбраны 6 карт. Какова вероятность того, что среди этих шести карт окажется хотя бы один «туз»?

Решение. В качестве элементарного исхода выбираем набор шести карт из 36 игральных карт, т.е. сочетание из 36 элементов по 6. Все элементарные исходы равновозможны, а их общее число .

Так как в колоде 4 «туза», то число указанных наборов, не содержащих «туза», равно , а, следовательно, число элементарных исходов, благоприятствующих событию {среди шести наудачу выбранных карт окажется хотя бы один «туз»}, можно вычислить по формуле .

Согласно классическому определению вероятности

.

Ответ: .