6.2. Основные формулы ортодромии. Способы ее задания

6.2.1. Основные формулы ортодромии

Треугольник АР_NВ – сферический треугольник, элементами которого являются:

• Стороны треугольника АР_NВ:

  • АР_N → (90° – φ_A);

  • Р_NВ → (90° – φ_B);

  • АВ → D (длина ортодромии)

• Углы треугольника АР_NВ:

  • Р_NАВ → К_H (начальный курс плавания по ДБК);

  • Р_NВА → 180° – К_K (конечный курс плавания по ДБК);

  • АР_NВ → Δλ = λ_B – λ_A (разность долгот между конечной В и начальной А точками ДБК).

Из сферической тригонометрии известно «…если в сферическом треугольнике известны три элемента то, по формулам сферической тригонометрии, можно определить и все остальные…».

Применяя формулу «косинуса стороны» («…косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними…») можно определить длину ортодромии D между любыми двумя ее точками (т. А и т. В), координаты которых известны, то есть:

cosD = cos(90° − φ_A) · cos(90° − φ_B) + sin(90° − φ_A) · sin(90° − φ_B) · cos(λ_B – λ_A)

или, после преобразования:

cosD = sinφA · sinφB + cosφA · cosφB · cos(λB – λA)

(6.3)

Применяя формулу «котангенса угла» («…произведение котангенса крайнего угла на синус среднего угла равно произведению котангенса крайней стороны на синус средней стороны минус произведение косинусов средних частей…») можно определить значение начального К_H и конечного К_K курсов плавания по ортодромии.

ctgКH = cosφA · tgφB · cosec(λB – λA) − sinφA · ctg(λB – λA)

(6.4)

ctgКK = −tgφA · cosφB · cosec(λB – λA) + sinφB · ctg(λB – λA)

(6.5)

6.2.2. Способы задания ортодромии

Ортодромия может быть задана одним из 4-х способов:

1. → по координатам любых двух ее точек (т. А: φ_A λ_A и т. В: φ_B λ_B) при условии, что эти точки не лежат на противоположных концах земного диаметра;

2. → по координатам любой точки ортодромии (φ_A λ_A, φ_i λ_i, φ_B λ_B…) и направлению (курсу) ортодромии в этой точке (К_H или К_i или К_K);

3. → по долготе (λ₀) точки пересечения ортодромии с экватором и направлению ортодромии в этой точке (К₀);

4. → по координатам точки V – вертекса (φ_V λ_V) ортодромия в этой точке касательна к параллели).

Плавание по ортодромии обычно осуществляется при больших (тысячи миль) океанских переходах и при том условии, что такое плавание будет экономически выгоднее, чем обычное плавание постоянным курсом, то есть по локсодромии.

Плавание по ортодромии считается выгодным если: S – длина локсодромии (мили) намного больше D – длина ортодромии (мили) .

То есть для принятия решения «как плыть» необходимо первоначально рассчитать S и D и сравнить их.

6.3. Расчет плавания по локсодромии

Расчет плавания по локсодромии выполняется по формулам аналитического (письменного) счисления.

Протяженность плавания по локсодромии – расстояние между начальной (т. А) и конечной (т. В) точками плавания рассчитывается по формуле:

S_ЛОК = РШ · secK_ЛОК

где РШ = φ_B – φ_A – разность широт, выполняемая судном при плавании;

РД = (λ_B – λ_A) – разность долгот, выполняемая судном при плавании;

где
	РМЧ = (МЧB – МЧA) – разность меридиональных частей: конечной (В) и начальной (А) точек плавания судна.

Методику расчета плавания судна по локсодромии рассмотрим на конкретном примере.

Судну предстоит совершить океанский переход по маршруту:

т. А (начало плавания; пункт отхода):	φA = 20°00,0′N, λA = 73°50,0′W.
т. В (пункт прихода):	φB = 42°12,0′N, λB = 8°50,0′W.

Решение:

1. РШ = (φ_B – φ_A) = 42°12,0′N – 20°00,0′N = 22°12,0′ к N = +1332′.

2. РД = (λ_B – λ_A) = –8°50,0′– (–73°50,0′) = 65°00,0′ к Е = +3900′.

3. РМЧ = (МЧ_B – МЧ_A) = 2782,4 – 1217,3 = 1565,1

   МЧB = (42°12,0′) = 2782,4 МЧA = (20°00,0′) = 1217,3

   из табл. 26 «МТ-75» (с. 280÷287) или из табл. 2.28а «МТ-2000» (с. 314÷321) → см. табл. 26.5

4. табл. 6а «МТ-75» (с. 155÷199) или табл. 5.42а «МТ-2000» (с. 460÷461) → 68°08′ (см. табл. 6.6). Или (через логарифмы):

   	табл. 2 «МТ-75» (с. 62÷76) или табл. 5.44 «МТ-2000» (с. 465)
   = lg tg КЛОК		= 0,39652 → табл. 5а «МТ-75»
   (с.93÷137) → КЛОК = 68°08′NE ≈ 68,1° (см. табл. 26.7).

5. S_ЛОК = РШ · sec К_ЛОК = 1332 · 2,68494 = 3576,3 мили (2,68494 – из табл. 6а «МТ-75» (с. 155÷199) для sec 68°08′ или табл. 5.42а «МТ-2000» (с. 460÷461). Или (через логарифмы):

= lg SЛОК		= 3,55343 → табл. 2 «МТ-75»
(с.62÷76) или табл. 5.44 «МТ-2000» (с. 465) – обр. вход → SЛОК = 3576,3мили (см.табл. 26.4).

Ответ:

при плавании по локсодромии следуя из т. А в т. В постоянным курсом КЛОК = 68°08′(~ 68,1°), пройденное расстояние SЛОК составит 3576,3 мили.