9.4. Кручение

При кручении возникает один внутренний силовой фактор — крутящий момент M_z (рис.9.19). Кручение круглого бруса происходит при нагружении его парами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси.

Рис. 9.19

При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ называемый углом сдвига (угол поворота образующей). Поперечные сечения разворачиваются на угол φ, называемый углом закручивания (угол поворота сечения, рис.9.20).

Длина бруса и размеры поперечного сечения при кручении не изменяются.

Рис. 9.20

Связь между угловыми деформациями определяется соотношением

;

l - длина бруса; R — радиус сечения, γ - угол сдвига, φ угол закручивания.

Длина бруса значительно больше радиуса сечения, следовательно, φ»γ.

Угловые деформации при кручении рассчитываются в радианах.

Гипотезы при кручении

1. Гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформациии остается плоским и перпендикулярным продольной оси.

2. Радиус, проведенный из центра поперечного сечения бруса, после деформации остается прямой линией (не искривляется).

3. Расстояние между поперечными сечениями после деформации не меняется. Ось бруса не искривляется, диаметры поперечных сечений не меняются.

Внутренние силовые факторы при кручении

Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор ‑ крутящий момент.

Внешними нагрузками также являются две противоположно направленные пары сил.

Рассмотрим внутренние силовые факторы при кручении круглого бруса (см. рис.9.20).

Для этого рассечем брус плоскостью I и рассмотрим равновесие сеченной части (рис. 9.20 а). Сечение рассматриваем со стороны отброшенной части.

Внешний момент пары сил разворачивает участок бруса против часовой стрелки, внутренние силы упругости сопротивляются повороту. В каждой точке сечения возникает поперечная сила dQ рис. 9.20, б). Каждая точка сечения имеет симметричную точку, где возникает поперечная сила, направленная в обратную сторону. Эти силы разуют пару с моментом dm=ρdQ; ρ — расстояние от точки до центра сечения. Сумма поперечных сил в сечении равна нулю: ΣdQ = 0.

С помощью интегрирования получим суммарный момент сил упругости, называемый крутящим моментом:

.

Практически крутящий момент определяется из условия равновесия отсеченной части бруса.

Крутящий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть (рис. 9.20, в):

, т.е. ; .

Эпюры крутящих моментов

Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После определения величин моментов по сечениям строим график-эпюру крутящих моментов вдоль оси бруса.

Крутящий момент считаем положительным, если моменты внешних пар сил направлены по часовой стрелке, в этом случае момент внутренних сил упругости направлен против часовой стрелки (рис.9.21).

Рис. 9.21

Порядок построения эпюры моментов аналогичен построению эпюр продольных сил. Ось эпюры параллельна оси бруса. Значения моментов откладывают от оси вверх или вниз, масштаб построения выдерживать обязательно.

Пример решения задачи

На вал переменного сечения насажены шкивы (рис.9.22). Ступени вала имеют сплошное и кольцевое сечение. Соотношение внутреннего и наружного диаметра кольцевого сечения с = d / D = 0,5. Шкив 1 передает мощность от источника энергии на вал N₁ = 100 кВт, а остальные шкивы снимают с вала и передают машинам мощности соответственно N₂ = 50 кВт, N₃ = 20 кВт. Вал вращается со скоростью n = 250 об/мин. Допускаемые касательные напряжения [τ] = 30 МПа, допускаемый относительный угол закручивания [θ] = 7,5·10^-3 рад/м.

Определить диаметры его ступеней из расчетов на прочность и жесткость.

Рис. 9.22

Решение

Угловая скорость вала

Определим мощность на четвертом шкиве.

N₁ = N₂ + N₃ + N₄ ; N₄ = N₁ −( N₂ + N₃ ) = 100−(50 +20) = 30 кВт

Определим величины моментов, передаваемых каждым из шкивов:

Эпюра крутящих моментов начинается от шкива 2.

Эпюра М_z изображена на рис. 9.23.

Рис. 9.23

Выполним проектный расчет. Определим диаметры ступеней вала.

Наибольший крутящий момент на сплошном и кольцевом участках вала одинаков: М_z= 1910 Н·м

Определим диаметры вала из расчета на прочность:

сплошное сечение:

кольцевое сечение:

Определим диаметры вала из расчета на жесткость:

, где G − модуль сдвига, G = 8 10¹⁰ Па, Jр – Полярный момент инерции сечения.

Требуемый полярный момент инерции сечения:

Диаметр сплошного сечения:

диаметр кольцевого сечения:

Окончательно принимаем диаметр сплошного участка d = 75 мм, диаметр кольцевого участка d = 80 мм.

При этом касательные напряжения в опасных сечениях вала будут ниже допускаемых [τ] = 30 МПа:

Задачи для самостоятельного решения

На вал переменного сечения насажены шкивы. Ступени вала имеют сплошное и кольцевое сечение. Соотношение внутреннего и наружного диаметров кольцевого сечения с = d / D = 0,5. Шкив 1 передает мощность от источника энергии на вал N₁, а остальные шкивы снимают с вала и передают машинам мощности соответственно N₂, N₃, N₄. Вал вращается со скоростью n = 250об/мин. Допускаемые касательные напряжения [τ] = 30 МПа, допускаемый относительный угол закручивания [θ]=7,5 10^-3 рад/м.

Определить диаметры его ступеней из расчетов на прочность и жесткость.

Расчетные схемы указаны на рис. 9.24 а числовые данные приведены в табл. 9.2.

Таблица 9.2

Мощность, передаваемая шкивами, кВт

Вариант	N1	N2	N3	N4
1	100	50	19
2	120	70	35
3	130	90	?	15
4	90	65	15
5	86	52	?	13
6	125	79	26	?
7	116	88	?	16
8	104	71	23	?
9	96	53	?	20
10	110	67	24	?

Рис. 9.24