9.2 Взаимное расположение линии и поверхности
Наиболее интересны два варианта взаимного расположения линии и поверхности:
Линия принадлежит поверхности - все точки линии принадлежат поверхности.
Линия пересекает поверхность - линия и поверхность имеют одну или несколько общих точек.
Определение взаимного положения линии и поверхности - позиционная задача, для решения которой применяется метод вспомогательных секущих поверхностей посредников. При оценке взаимного расположения прямой линии и поверхности в качестве вспомогательных секущих поверхностей посредников используется плоскость - метод вспомогательных секущих плоскостей.
Распространенными позиционными задачами в этой теме начертательной геометрии являются следующие:
Определение точек пересечения прямой линии и поверхности.
Построение прямой касательной поверхности.
Построение прямой перпендикулярной поверхности.
Принадлежность линии поверхности
Линия принадлежит поверхности, если все её точки принадлежат этой поверхности.
В этой теме методами начертательной геометрии решаются следующие позиционные задачи:
Построение линии, принадлежащей поверхности.
Определение принадлежности линии поверхности.
Рассмотрим алгоритм решения задачи на построение линии принадлежащей поверхности, если одна из проекций линии задана (рис.109).
Дано:
Поверхность Ф, заданная проекциями каркаса состоящих из образующих линий l и направляющей n.
Фронтальная проекция линии m, принадлежащей поверхности Ф.
а) модель б) эпюр
Рисунок 109. Линия на поверхности
Алгоритм решения задачи:
Находим точки 12, 22, 32, 42 пересечения проекции линии m2 с проекцией каркаса поверхности, т.е. соответственно с проекциями линий l 12, l 22, l 32, l 42 .
По линиям связи находим проекции точек 11, 21, 31, 41, как точки лежащие на проекциях образующих каркаса соответственно l 11, l 21, l 31, l 41 и определяющих положение проекции линии m1 на поверхности Ф.
Пересечение линии с поверхностью
Линия пересекает поверхность, если имеет с ней одну или несколько общих точек.
Для графического определения точек пересечения линии с поверхностью (рис.110) необходимо выполнить ряд геометрических построений, описываемых следующим алгоритмом:
1. заключаем линию l в некоторую вспомогательную поверхность Δ;
2. строим линию m пересечения данной поверхности Ф и вспомогательной поверхности Δ;
3. определяем искомую точку К пересечения линии l и m (точка может быть не единственная).
В качестве вспомогательной поверхности целесообразно использовать проецирующую цилиндрическую поверхность, направляющей которой должна служить заданная линия, а –прямолинейными образующими – проецирующие прямые.
Рисунок 110. Линия пересекает поверхность
Пересечение прямой линии с поверхностью
При оценке взаимного расположения прямой линии и поверхности в качестве вспомогательных секущих поверхностей-посредников используется плоскость - метод вспомогательных секущих плоскостей.
Задача: Определить точки пересечения прямой линии с поверхностью конуса вращения и определить видимость прямой по отношению к конусу.
Для выбора вспомогательной секущей плоскости требуется знание линий образующихся в конических сечениях. Если в качестве вспомогательной секущей плоскости можно выбрать горизонтально проецирующую или фронтально проецирующую плоскости, то в сечении получатся соответственно гипербола (рис.111а) или эллипс (рис.111б). Построение кривых линий значительно усложняет задачу.
а) горизонтально проецирующая плоскость б) фронтально проецирующая плоскость
Рисунок 111. Пересечение прямой линии с конусом
(вспомогательная секущая плоскость - проецирующая)
Поэтому в качестве вспомогательной секущей плоскости целесообразно выбрать такую плоскость, которая бы включала прямую l и пересекала конус по образующим (рис.112). Очевидно, что такая плоскость определяется прямой l и точкой S - вершиной конуса. Пусть основание конуса лежит в горизонтальной плоскости проекций, тогда линия пересечения вспомогательной секущей плоскости и горизонтальной плоскости проекций ВС пересекает основание конуса в точках D и F. Таким образом в сечении конуса вспомогательной секущей плоскостью получится треугольник DFS. Так как полученный треугольник и прямая l лежат в одной плоскости, точки их пересечения К и М и есть точки пересечения прямой с конусом.
а) модель б) эпюр
Рисунок 112. Пересечение прямой линии с конусом (вспомогательная секущая плоскость-плоскость общего положения)