2.5 Взаимное расположение точек

Рассмотрим три основных варианта взаимного расположения точек, в зависимости от соотношения координат определяющих их положение в пространстве:

1. Рассмотрим точки А и В (рис.13), все три координаты которых отличаются, их взаимное расположение можно оценить по удаленности к плоскостям проекций:

- Y_А>Y_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П₂ и ближе к наблюдателю, чем точка В;

- Z_А>Z_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П₁ и ближе к наблюдателю, чем точка В;

- X_А<X_В. Тогда точка В расположена дальше от плоскости П₃ и ближе к наблюдателю, чем (при взгляде слева) точка А.

а) модель б)эпюр

Рисунок 13. Взаимное расположение точек, порядок построения эпюра

2. На рисунке 14 представлены точки А, В, С, D,  у которых  одна из координат совпадает, а две другие  отличаются, их взаимное расположение можно оценить по удаленности к плоскостям проекций следующим образом:

– Y_А=Y_В=Y_D, то точки А, В и D равноудалены от плоскости П₂ и их горизонтальные и профильные проекции расположены, соответственно, на прямых А₁В₁//x₁₂ и А₃В₃// z. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₂;

– Z_А=Z_В=Z_С, то точки А, В и С равноудалены от плоскости П₁ и их фронтальные и профильные проекции расположены, соответственно, на прямых А₂В₂//x₁₂ и А₃С₃// y. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₁;

– X_А=X_C=X_D, то точки А,  C и D равноудалены от плоскости П₃ и их горизонтальные и фронтальные проекции расположены, соответственно, на прямых А₁C₁// y и А₂D₂//z . Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₃.

Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рис. 14. даны три пары таких точек, у которых: X_А=X_D; Y_А=Y_D; Z_D>Z_А; X_A=X_C; Z_A=Z_C; Y_C>Y_A; Y_A=Y_B; Z_A=Z_B; X_B>X_A.

Соответствующие проекции конкурирующих точек совпадают.

а) модель б) эпюр

Рисунок 14. Конкурирующие точки, порядок построения эпюра

Различают: горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD; фронтально конкурирующие точки A и C расположенные на фронтально проецирующей прямой AC; профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB.

При проецировании на соответствующую плоскость проекций одна точка «закроет» другую точку, конкурирующую с ней, соответствующая проекция которой окажется невидимой.

Лекция 3. Прямая линия

3.1 Прямая линия и способы ее графического задания

Прямая линия* - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой  построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим.

Прямая линия - алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением 1-ой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой (полное):

Ах+Ву+С=0,

где А, В и С - любые постоянные, причем А и В одновременно не равны нулю. Если один из коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным.

Для определения положения прямой в пространстве существуют следующие методы:

1.Двумя точками (А и В).

Рассмотрим две точки в пространстве А и В (рис. 15). Через эти точки можно провести прямую линию. Для того чтобы найти проекции отрезка [BA] на плоскости проекций необходимо найти проекции точек А и В и соединить их прямой. Каждая из проекций отрезка на плоскости проекций меньше самого отрезка:

[A₁B₁]<[BA]; [A₂B₂]<[BA;] [A₃B₃]<[BA].

а) модель б) эпюр

Рисунок 15.Определение положения прямой по двум точкам, порядок построения эпюра

Обозначим углы между прямой и плоскостями проекций через α- с плоскостью П₁, β - с плоскостью П₂, γ - с плоскостью П₃ и тогда получим: |А₁В₁|=|BA|cos a; |A₂B₂|=|AB|cosb;

|A₃B₃|=|AB|cos g.

Частный случай |A₁B₁|=|A₂B₂|=|A₃B₃| при таком соотношении прямая образует с плоскостями проекций равные между собой углы a=b=g=45⁰, при этом каждая из проекций расположена под углом 45⁰ к соответствующим осям проекций.

2. Двумя плоскостями (a; b).

Этот способ задания определяется тем что две непараллельные плоскости пересекаются в пространстве по прямой линии (этот способ подробно рассматривается в курсе элементарной геометрии).

3. Двумя проекциями.

Пусть в плоскостях П₁ и П₂ даны проекции прямых заданных отрезками [А₁В₁] и [A₂B₂]. Проведем через эти прямые плоскости a и b перпендикулярные плоскостям проекций. В том случае если эти плоскости непараллельные (рис.16а), линией их пересечения будет прямая заданная отрезком [АВ], проекциями которой являются отрезки [А₁В₁] и [А₂В₂].

а) α непараллельная β

б) α и β совпадают

Рисунок 16.Определение положения прямой в пространстве по двум проекциям отрезка

Плоскости a и b могут слиться в одну плоскость g, если, например, проекции [А₁В₁] и [А₂В₂] перпендикулярны оси x и пересекают ее в одной точке (рис.16б). Прямая линия в этом случае будет однозначно определена своими проекциями, если на каждой из них обозначить две какие-либо точки. Если же обозначений не делать, то за искомую прямую можно принять любую прямую, лежащую в этой плоскости при условии, что она непараллельная ни одной из плоскостей проекций. Точка К, в данном случае - точка пересечения прямой с плоскостью П₂

4. Точкой и углами наклона к плоскостям проекций.

Зная координаты точки принадлежащей прямой и углы наклона ее к плоскостям проекций можно найти положение прямой в пространстве (рис.17).

Рисунок 17. Определение положения прямой по точке и углам наклона к плоскостям проекций