2.2 Проекция точки

Геометрический объект любой сложности можно рассматривать как геометрическое место точек, по взаимному расположению, которых можно составить представление об объекте, а по расположению их относительно системы координат можно судить о положении его в пространстве.

Точка *- одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии точка обычно принимается за одно из исходных понятий.

В современной математике точкой называют элементы весьма различной природы, из которых состоят различные пространства (например, в n-мерном евклидовом пространстве точкой называют упорядоченную совокупность из n- чисел).

Во многих областях математики встречаются точки, имеющие специальные названия. Так, в геометрии изучаются особые точки кривых; в математическом анализе - особые точки решений дифференциальных уравнений, особые точки аналитических функций; в теории множеств - точки, характеризующие свойства рассматриваемого множества (предельная точка, граничная точка) и др.

Точка **

1) единица длины, применяемая главным образом в полиграфии и равная 0,351460 мм.

2) Русская единица длинны, применявшаяся до введения метрической системы мер (1точка = 1/100 дюйма = 1/10 линии = 254 мкм).

2.3 Точка в ортогональной системе двух плоскостей проекций

При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость является основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. На рисунке 7 показана точка А и ее ортогональные проекции А₁ и А₂, которые называют соответственно горизонтальной и фронтальной проекциями.

Проекции точки всегда расположены на прямой, перпендикулярной оси x₁₂ и пересекающей эту ось в точке А_x.

а) модель б) эпюр

Рисунок. 7. Точка в системе двух плоскостей проекций, порядок построения эпюра

Справедливо и обратное, т. е.  если на плоскостях проекций даны точки А₁ и А₂ расположенные на прямой, пересекающей ось x₁₂ в точке А_x под прямым углом, то они являются проекцией некоторой точки А.

На эпюре Монжа проекции А₁ и А₂ расположены на одном перпендикуляре к оси x₁₂. При этом расстояние А₁А_x - от горизонтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П₂, а расстояние А₂А_x - от фронтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П₁.

Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи.

а) модель б) эпюр

Рисунок 8 Точки в различных четвертях пространства, порядок построения эпюра

На рисунке 8 представлены точки A, B, C и D, расположенные в разных четвертях пространства и  их эпюр (A - в первой, B - во второй, C - в третьей и D - в четвертой четвертях)

2.4 Точка в ортогональной системе трех плоскостей проекций

В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью – профильную плоскость проекций П₃, расположенную перпендикулярно к П₁ и П₂. Плоскости проекций П₁, П₂ и П₃ являются основными плоскостями проекций.

а) модель б) эпюр

Рисунок 9. Точка в системе трех плоскостей проекций

Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке 9. Третья плоскость, перпендикулярная и П₁, и П₂, обозначается буквой П₃ и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость обозначаются прописными буквами латинского алфавита или цифрами с индексом 3.

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x, 0y и 0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0.

Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П₁ и П₃ вращают, как показано на рисунке 10, до совмещения с плоскостью П₂. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают. Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают.

Рисунок 10. Получение эпюра

Координаты (от лат. со — совместно и ordinatus — упорядоченный, определенный) — числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве. В 14 веке Н. Орем пользовался координатами на плоскости для построения графиков, называя долготой и широтой то, что теперь называют абсциссой и ординатой. Более систематически координаты стали применяться к вопросам геометрии на плоскости в 17 веке. Заслуга выяснения всего значения метода координат позволяющего систематически переводить задачи геометрии на язык математического анализа и обратно, истолковывать геометрически факты анализа, принадлежат Р. Декарту.

В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x , y и z (абсцисса, ордината и аппликата).

Положение точки относительно плоскостей проекций

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами x, y, z. Точка может занимать в пространстве как общее, так и частное положение по отношению к плоскостям проекций.

Точка не принадлежащая ни одной из плоскостей проекций - точка общего положения. Координаты точки общего положения не равны нулю (x≠0,y≠0,z≠0), и в зависимости от знака координаты точка может располагаться в одном из восьми октантов, как показано в таблице 1 и на рисунке 11.

Таблица 1 Знаки координат в октантах

точка	октант	координаты
		x	y	z
A	I	+	+	+
B	II	+	-	+
D	III	+	-	-
C	IV	+	+	-
E	V	-	+	+
F	VI	-	-	+
N	VII	-	-	-
G	VIII	-	+	-

а) модель I-IV октантов

б) модель V-VIII октантов в) эпюр

Рисунок 11. Точки общего положения, порядок построения эпюра

Точка принадлежит плоскости проекций (рис.12).

Точка А принадлежит горизонтальной плоскости проекций (x≠0,y≠0,z=0) -  фронтальная проекция точки лежит на оси x, а профильная на оси y.

Точка B принадлежит фронтальной плоскости проекций (x≠0,y=0,z≠0) -  горизонтальная проекция точки лежит на оси x, а профильная на оси z.

Точка С принадлежит профильной плоскости проекций (x=0,y≠0,z≠0) -  горизонтальная проекция точки лежит на оси y, а фронтальная на оси z.

а) модель б) эпюр

Рисунок 12. Точки частного положения

Точка принадлежащая одновременно двум плоскостям проекций - точка на оси (рис.12).

Точка D лежит на оси x, принадлежит одновременно горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций (x≠0,y=0,z=0).

Точка E лежит на оси y, принадлежит одновременно горизонтальной и профильной  плоскостям проекций (x=0,y≠0,z=0).

Точка F лежит на оси z, принадлежит одновременно фронтальной и профильной  плоскостям проекций (x=0,y=0,z≠0).

Точка принадлежит одновременно трем плоскостям проекций – 0 (x=0,y=0,z=0) - начало координат.