Ячеечная модель

Ячеечная модель схематически представляет собой реальный аппарат, как некоторое число n одинаковых последовательно соединенных аппаратов (ячеек) идеального смешения (рис. 6.6).

Рис. 6.6 Ячеечная модель структуры потоков

Суммарный объем всех ячеек равен объему реального аппарата. Следовательно, объем одной ячейки (при условии равенства их объемов):

V_i= .

Параметром, характеризующим данную модель, является число ячеек n. Математическое описание ячеечной модели включает n линейных дифференциальных уравнений первого порядка

i=1,2…n (6.5)

Дифференциальная функция распределения времени пребывания

[кривая отклика С( )]:

С( ) = n^{n n-1} е^-n /(n-1) (6.6)

График этой функции для различных n представлен на рис. 6.7.

Рис. 6.7. Кривая отклика для ячеечной модели при импульсном вводе индикатора.

При n → ∞ ячеечная модель переходит в МИВ; при n=1 ячеечная модель переходит в МИС, а уравнение (6.6) – в уравнение (6.4). Таким образом, МИВ и МИС являются крайними случаями ячеечной модели.

Из уравнения (6.6) можно вывести простую зависимость для дисперсии ( ):

(6.7)

Уравнением (6.7) удобно пользоваться для определения числа ячеек.

Диффузионная модель

Основой этой модели является модель идеального вытеснения, осложненная обратным перемешиванием, наличие которого описывается формальным законом диффузии:

(6.8)

т.е. к уравнению (6.2) добавляется диффузионный член, учитывающий турбулентную диффузию или перемешивание (D_L – коэффициент продольной диффузии, учитывающий и молекулярную и турбулентную диффузию, а также неравномерность поля скоростей). В практических задачах D_L обычно является эмпирическим параметром. Причем считается, что D_L постоянен по длине аппарата.

Таким образом, единственным параметром этой модели является коэффициент продольной диффузии D_L (или коэффициент продольного перемешивания). Но при одном и том же значении D_L картина перемешивания может быть разной – на неё влияют также длина аппарата и скорость потока. Поэтому, чтобы распространить результаты на ряд подобных процессов, продольное перемешивание характеризуют критерием подобия Пекле

Pe_L = W L/D_L (6.9)

Анализ уравнения (6.9) показывает, что при Pe = 0 (D_L=∞) поток соответствует идеальному смешению (бесконечно быстрая диффузия полностью выравнивает концентрации). При Pe_L=∞ уравнение (6.8) переходит в уравнение (6.2) – поток движется по схеме идеального вытеснения. Реальному же потоку соответствуют условия 0<Pe<∞

Кривые отклика диффузионной модели при ступенчатом и импульсном возмущении показаны на рис. 6.8.

Рис. 6.8. Кривые отклика для диффузионной модели при импульсном (а) и ступенчатом (б) вводе индикатора.

Дисперсию времени пребывания можно рассчитать по формуле:

( ) = 2/ Pe_L-2(1-е ^-PeL )/ Pe_L² (6.9)

При Pe_L>10, т.е. когда реальный поток незначительно отклоняется от идеального вытеснения, справедлива приближенная формула:

( ) = 2/ Pe_L (6.10)

С учетом (6.7) получим соотношение:

Pe_L / 2 ≈ n (6.11), устанавливающее соответствие между ячеечной и диффузионной моделями.

Диффузионную модель обычно используют для описания структуры потоков в аппаратах с непрерывным контактом фаз (например, в насадочных и пленочных массообменных колоннах и т.п.).

В табл. 6.1 представлены схемы потоков, соответствующие рассмотренным моделям, их математическое описание и кривые отклика.

Таблица 6.1. Схемы потоков, математическое описание их моделей и кривые отклика.

Кроме однопараметрической диффузионной модели достаточно широко используют двухпараметрическую диффузионную модель, учитывающую перемешивание как в продольном, так и в поперечном направлениях. Эта модель характеризуется коэффициентами продольного (D_L) и радиального ( D_R) перемешивания:

(6.12)

где: r- радиус; коэффициенты D_r и D_L определяют опытным путем.

Комбинированные модели

Не все реальные процессы удается описать с помощью рассмотренных выше моделей – в частности процессы, в которых наблюдается байпасные и циркуляционные потоки, застойные зоны. В таких случаях используют комбинированные модели структуры потоков. При построении такой модели принимают, что аппарат состоит из отдельных зон, соединенных последовательно или параллельно, с различными структурами потоков (идеального смешения, идеального вытеснения, зоны с продольным перемешиванием, застойная зона и т.д.).

Например, аппарат, в котором имеются короткий байпас и зона циркуляции, можно изобразить схемой, показанной на рис. 6.9.

Рис. 6.9. Схема комбинированной модели структуры потоков

Va₁ – аппарат, работающий в режиме диффузионной модели;

Va₂ – аппарат идеального смешения;

Va₃ – аппарат идеального вытеснения.

Основная часть потока Q₁ движется по схеме диффузионной модели (параметр которой Pe_L ) через часть аппарата объемом Va₁). Часть потока Q₂ попадает в зону циркуляции объемом Va₂ с практически идеальным перемешиванием. Часть потока Q₃ по схеме идеального вытеснения идет коротким байпасом, занимая объем Va₃.

В рассмотренной модели пять параметров: доли потоков Q₁/Q и Q₂/Q (долюQ₃/Q находят по разности 1 –(Q_1/Q + Q₂/Q) = Q₃/Q; доли аппарата Va₁/V и Va₂/V; параметр Pe_L. Столь сложные модели требуют тщательной оценки параметров во избежание ошибочных заключений о степени их влияния на структуру потока.

Следует иметь в виду, что увеличением числа зон различных структур потоков можно описать процесс любой сложности, но математическое моделирование при этом усложняется. Их описание приводится в специальной литературе.