Математический анализ.
Определение. Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. Обозначается f’(x).
Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.
Геометрический смысл производной: производная функции в точке хо равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику данной функции в данной точке.
Механический
смысл производной:
мгновенная скорость прямолинейного
движения материальной точки в любой
момент времени есть производная от пути
по времени:
Правила дифференцирования:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
.
Таблица производных
(xn)′ = n·xn-1 |
|
(sin x)′ = cos x |
|
(cos x)′ = – sinх |
(ex)′ = ex |
|
|
|
|
(ax)′ = ax ·ln a |
|
|
|
|
Пример1. Найти производную:
5)
6)
Решение.
1)
.
2)
Перепишем функцию в виде, удобном для
дифференцирования:
.
.
3)
Перепишем функцию в виде, удобном для
дифференцирования:
.
.
4)
Перепишем функцию в виде, удобном для
дифференцирования:
.
.
5)
6)
.
Пример2. Найти производную сложной функции:
1)
2)
3)
4)
.
Решение.
Производная сложной функции вычисляется по правилу дифференцирования 6.
1)
2)
Перепишем функцию в виде, удобном для
дифференцирования:
.
3)
.
4)
Перепишем функцию в виде, удобном для
дифференцирования:
.
.
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке, если в любой точке этого промежутка её производная равна f(x):
.
Отыскание первообразной функции есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование.
Определение.
Совокупность первообразных для функции
f(x)
называется неопределённым
интегралом
и обозначается символом
.
Таким образом:
,
где f(x)dx
– подынтегральное
выражение,
С
– постоянная.
Свойства неопределённого интеграла.
1) Неопределённый интеграл суммы функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций.
2) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак неопределённого интеграла.
3)
Если функция имеет вид f(kx+b),
то неопределённый интеграл вычисляется
по формуле:
.
Таблица первообразных
B - const |
Bx + C |
x n , n ≠ -1 |
|
|
Ln(x) + C |
e x |
e x + C |
sin x |
- cos x + C |
cos x |
sin x + C |
|
|
|
|
|
tg x + C |
|
- ctg x + C |
ax , a>0 |
|
Определение.
Приращение F(b)
– F(a)
любой из первообразных некоторой функции
при изменении аргумента от х
= а до
х
= b
называется определённым
интегралом
от а
до
b
функции
f(x)
и обозначается
.
Числа а
и
b
называются пределами интегрирования.
При
вычислении определённого интеграла
используется формула
Ньютона-Лейбница:
.
Пример 3. Найти:
.
Решение.
1)
;
2)
;
3)
.
Пример 4. Вычислить:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Решение.
1)
;
2)
3)
4)
