Исследования функций с помощью производных и построение графиков.

При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:

1. Область определения   и область допустимых значений   функции.

2. Четность, нечетность функции.

3. Точки пересечения с осями.

4. Асимптоты функции.

5. Экстремумы и интервалы монотонности.

6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.

7. Сводная таблица.

Примеры исследования функций с помощью производных и построение графиков.

Пример 1.Исследовать функцию у = и построить ее график.

Решение.

1) Функция у = определена всюду, кроме точки x=1. Отсюда область определения её: (–,1) (1,+) .

2) Четность, нечетность.

Y(-x)= (-x)³/((-x)-1)²=-x³/(-x-1)² ≠y(x)≠-y(x) – функция общего вида

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. При х = 0 получаем у = 0, т.е. график функции пересекает координатные оси в точке O(0,0).

4) Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика функции.

Найдем наклонные асимптоты:

k= = = = = 1, т.е. k =1;

b = ( f (x)– kx ) = = = = = = = = = =2,

т.е. b=2. Имеем уравнение правой наклонной асимптоты y = x+2.

Легко убедиться, что при x – k и b имеют те же значения, т.е. уравнение левой наклонной асимптоты такое же y = x+2.

5) Найдем производную функции: y' = =

= = = .

Приравнивая y' к нулю, получим x³–3x²=0, откуда имеем критические точки x₁=0, x₂=3. Для исследования знака производной в интервале (–;0), (0;3) и (3; +) на числовой оси отметим точки x=0, x=3 и х=1.

О пределим знаки y' = в указанных интервалах.

Таким образом, в интервале (–;1) функция возрастает, в интервале (1,3) – убывает, в интервале (3,+ ) она возрастает. В точке x=3 функция имеет минимум: f (3) = = = 6,75.

6) Найдем вторую производную:

y''= = = = =

= = , y''=0 при x=0. Так как знаменатель дроби (x–1)⁴>0 всегда (кроме x=1), то знак второй производной зависит лишь от числителя. При x<0 y''<0, при x>0 y''>0.

Точка x=0 является точкой перегиба. При x<0 кривая направлена выпуклостью вверх, так как y''<0, а при x>0 – выпуклостью вниз. В точке перегиба f (x) имеет значение f (0)=0.

Результаты наших исследований объединим в таблицу.

x	(–,0)	0	(0,1)	1	(1,3)	3	(3,+)
y'	+	0	+		–	0	+
y''	–	0	+		+		+
y		точка перегиба		не суще– ствует		min	

Строим график функции, предварительно построив асимптоты и отметив точки минимума, перегиба и пересечения графика с осями координат.