Тема 13. Производная
13.1. Найти приращение функции y=2x-1 в точке x=2, при :
а)
13.2. Вычислить
приращение функции в точке x,
если приращение аргумента равно
:
13.3. Составить
отношение
для функций:
13.4. Используя
определение, найти производные функций:
Найти производные
функций по формулам дифференцирования:
Найти производные второго порядка функций:
Найти производные функций, заданных параметрически:
Показать, что функция удовлетворяет уравнению:
.
13.52. Показать,
что функция
удовлетворяет уравнению:
13.53. Найти угловой
коэффициент касательной к параболе
:
а) в точке (0;0); б) в точке (2;4); в) в точках
пересечения параболы с прямой y=-x+6.
13.54. Найти угловой
коэффициент касательной к гиперболе
в
точках: а) (0;-1); б) (2;1).
13.55. В какой точке
касательная к параболе
:
а) параллельна оси Оx;
б) образует с осью Оx
угол
?
13.56. Доказать,
что касательная к гиперболе
не
может быть параллельна оси Оx.
Тема14. Приложение производной
Вычислить пределы, используя правило Лопиталя (предварительно убедившись в возможности его применения):
Найти интервалы монотонности и экстремумы функции:
Найти наибольшее и наименьшее значение (глобальный максимум и минимум) функции y=f(x) на отрезке [a,b]:
14.25.
14.26.
14.27. f(x)=x
ln
x
на [0,1;1]. 14.28.
на [0;3].
14.29.
на [-1;1]. 14.30.
на [-2;0].
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=f(x) на интервале (a;b):
14.31.
.
14.32.
.
14.33.
.
14.34.
.
14.35. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, вписанного в круг радиуса r.
14.36. Бак цилиндрической формы должен вместить V литров воды. Каковы должны быть его размеры, чтобы поверхность (без крышки) была наименьшей?
14.37. Требуется
выделить прямоугольную площадку земли
в 512
,
огородить ее забором и разделить
загородкой на три равные части параллельно
одной из сторон площадки. Каковы должны
быть размеры площадки, чтобы на постройку
заборов пошло наименьшее количество
материала?
14.38. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. При заданном периметре окна найти такие его размеры, чтобы оно пропускало наибольшее количество света.
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графиков функций:
Найти асимптоты графиков функций:
Исследовать функции и построить их графики:
Тема 15. Дифференциал
Найти дифференциалы следующих функций:
Найти дифференциалы второго порядка функций:
Пользуясь понятием дифференциала вычислить приближенно:
Тема 16. Функции нескольких переменных
Найти частные производные функций:
16.1.
16.2.
16.3.
. 16.4.
.
16.5. Для функции
найти значение частной производной
в точке (1;0;2).
Найти полные дифференциалы функций:
16.6.
16.7. u=xyz.
16.8. Найти значение
полного дифференциала функции
.
16.9. Найти вторые
частные производные функции
.
Убедиться, что
.
Найти критические точки функций:
.