Тема 7. Введение в анализ

Переменные величины. Понятие функции. Аналитический, графический и табличный способы задания функции. Четные и нечетные функции. Монотонные функции. Сложная функция. Обратная. Основные элементарные функции. Приращение аргумента и функции. Непрерывность. Предел. Основные теоремы о пределах. Предел последовательности. Бесконечно малая и бесконечно большая переменные. Признаки существования предела. Два замечательных предела.

Вопросы для самопроверки:

1. Всякая ли функция имеет обратную?

2. Какие элементарные функции являются взаимообратными?

3. Как аналитически определить, что предела функции в точке не существует?

4. Какая последовательность называется сходящейся?

5. При доказательстве какого предела необходим бином Ньютона?

Тема 8. Дифференциальное исчисление

Задача о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения. Задача о наклоне касательной к кривой. Понятие производной. Геометрический смысл. Дифференцируемость функции. Производные некоторых простейших функций. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков. Понятие дифференциала. Геометрический смысл. Свойства. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется касательной к кривой по Лейбницу?

2. Как соотносятся между собой понятия: угловой коэффициент прямой и производная?

3. Что означает дифференцируемость функции на множестве?

4. В чем сходство и отличие понятий: дифференциал и производная?

5. Всякая ли непрерывная функция является дифференцированной?

Тема 9. Приложения производной к исследованию функций.

Правило Лопиталя. Экстремумы функции. Основные теоремы дифференциального исчисления. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции. Достаточные признаки существования экстремума функции. Наименьшее и наибольшее значения функции. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты. Исследование функции и построение графиков.

Вопросы для самопроверки:

1. В каких случаях можно использовать правило Лопиталя?

2. Какая из основных теорем дифференциального исчисления является необходимым признаком существования экстремума функции?

3. Сколько существует достаточных признаков наличия экстремума функции?

4. Сколько видов асимптот существует?

5. Какая из асимптот является частным случаем горизонтальной?

6. При какой области определения исследование функции на четность и нечетность не имеет смысла?

Тема 10. Функции нескольких переменных

Функции двух и трех переменных. Частные производные. Полный дифференциал. Частные производные высших порядков. Экстремум функции нескольких переменных. Понятие об эмпирических функциях и методе наименьших квадратов. Построение эмпирической линейной функции методом наименьших квадратов.

Вопросы для самопроверки:

1. Что отображает функция трех переменных?

2. Что называется полным приращением функции трех переменных?

3. В чем заключается принцип Лежандра?

4. Какая функция называется эмпирической?

ЛИТЕРАТУРА

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. – М.: ЮНИТИ, 2004.

2. Карасев А. И., Аксютина З. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов, - М. :Высшая школа, 1982. – ч.1 и 2.

3. Кудрявцев В. А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1985.

4. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия, Дифференциальное исчисление функции одной переменной. – М.: Высшая школа, 1986.