2.Поток событий.

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих в случайные моменты времени.

В частности, в потоке событий события могут следовать одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток событий называется регулярным и не представляет интереса для теории вероятностей.

Характер событий, образующих поток может быть различным. Если события отличаются друг от друга только моментом времени, в который они происходят, то такой поток событий называется однородным. Далее будем рассматривать однородные потоки событий.

Однородный поток можно изобразить последовательностью точек t₁, t₂, ... , t_i, …— моментов наступления событий на оси времени Ot. Здесь t₀ -начальный момент.

t₀ t₁ t₂ t₃ . . . t_i . . . t

    

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того ли иного числа событий на участок времени  зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси расположен этот участок.

Стационарность потока событий означает, что плотность потока постоянна, отсутствуют промежутки времени, в течение которых событий больше чем обычно. Пример не выполнения условия стационарности– “час пик” на транспорте.

Если выполнено условие стационарности, то можно говорить о сред­нем числе событий  наступающих за единицу времени, например за один час, не указывая за какой именно час. Число  называют интенсивностью потока.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых, не перекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Отсутствие последействия означает, что заявки в систему поступают независимо друг от друга. Поток выходных событий систем массового обслуживания обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет.

Пример – вход пассажиров на станцию метро – поток без последействия, т.к. причины прихода отдельного пассажира не связаны с причинами прихода всех остальных, а выход пассажиров со станции – поток с последействием, т.к. он обусловлен прибытием поезда.

Последействие, свойственное выходному потоку следует учитывать, если этот поток в свою очередь является входным для какой- либо другой системы.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок t двух или более событий достаточно мало по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Условие ординарности означает, что заявки на систему приходят по одному, а не парами, тройками и т.д. Однако, если заявки поступают только парами, только тройками и т.д., то такой поток сводится к ординарному.

Если поток событий стационарен, ординарен и без последействия, то такой поток называется простейшим потоком.

Можно показать, что для простейшего потока с интенсивностью  вероятность P_i(t) наступления ровно i событий за время t вычисля­ется по формуле Пуассона:

P_i(t) = e^- , (i 0),

Поэтому простейший поток называют также пуассоновским потоком.

Обозначим через Т интервал времени между наступления­ми двух последовательных событий. Найдем функцию распре­деления случайной величины Т:

F(t) = P(T < t) = 1 - P(T  t) = 1 – P₀(t), (1)

где P(T < t) — вероятность того, что случайная величина Т примет значение, меньшее, чем t;

P(T  t) = P₀(t) — вероятность противо­положного события (т. е. за время t в СМО не поступила ни одна заявка). По формуле Пуассона имеем:

P₀(t) = e^- = e^- ,

поэтому из (1) получим

F(t) = 1 - e^- , (t > 0). (2)

Плотность распределения случайной величины Т:

f(t) = F^’(t) =  e^- , (t > 0).

Математическое ожидание и дисперсия слу­чайной величины Т:

M[T] = , D[T] = , . (3)

Интервал времени Т между двумя после­довательными событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с математическим ожиданием , где  — интенсивность потока.

Пример. В бюро обслуживания в среднем поступает 12 заявок в час. Считая поток заказов простейшим, определить вероятность того, что: а) за 1 минуту не поступит ни одного заказа, б) за 10 минут поступит не более трех заказов.

Сначала найдем плотность (интенсивность) потока, выразив ее в количестве заявок в минуту. Очевидно, эта величина равна .

Далее находим вероятность того, что за время  = 1 мин не поступит ни одной заявки по формуле:

Вероятность того, что за 10 минут поступит не более трех заказов будет складываться из вероятностей того, что не поступит ни одного заказа, поступит один, два или ровно три заказа.

Пример. В ресторан прибывает в среднем 20 посетителей в час. Считая поток посетителей простейшим, и зная, что ресторан открывается в 11.00, определите:

а) вероятность того, что в 11.12 в ресторан придет 20 посетителей при условии, что в 11.07 их было 18

б) вероятность того, что между 11.28 и 11.30 в ресторане окажется новый посетитель, если известно, что предшествующий посетитель прибыл в 11.25.

Для ответ на первый вопрос фактически надо найти вероятность того, что в промежуток от 11.07 до 11.12 ( = 5 минут) придет ровно 2 посетителя. При этом мы знаем интенсивность потока посетителей -  = 20/60 = 1/3 посетителей в минуту. Конечно, данная величина носит условный характер, т.к. посетители не могут приходить по частям.

Искомая вероятность равна:

Теперь перейдем ко второму вопросу. Нам не сказано, сколько именно новых посетителей будет в промежутке от 11.28 до 11.30, главное чтобы был хоть один. Эта вероятность равна . Здесь Р₀ (2) – вероятность того, что в этом промежутке не будет ни одного посетителя.

Пример.В процессе эксплуатации ЭВМ возникают неисправности (сбои). Поток сбоев считается простейшим. Среднее число сбоев за сутки равно m. Найти вероятности следующих событий:

A - за суток нет ни одного сбоя

B - за одни сутки будет хотя бы один сбой

C - за неделю произойдет не менее сбоев

Если поток событий нестационарен, то его плотность  уже не является постоянной величиной, а зависит от времени.

Определение. Мгновенной плотностью потока событий называется предел отношения среднего числа событий, приходящегося на элементарный отрезок времени (t, t + t), к длине этого участка, которая стремиться к нулю.

Как видно из приведенного определения, с учетом того, что среднее число событий на участке времени равно математическому ожиданию, то можно сказать, что мгновенная плотность потока равна производной по времени от математического ожидания числа событий на участке (0, t).