6.Потоки Эрланга.

Потоки Эрланга также являются потоками с ограниченным последействием. Они образуются просеиванием простейшего потока.

Суть этого просеивания состоит в следующем. Если изобразить на временной оси простейший поток, поставив в соответствие каждому событию некоторую точку, и выбросить из потока каждую вторую точку, то получим поток Эрланга первого порядка. Оставив каждую третью точку и выбросив две промежуточные, получаем поток Эрланга второго порядка и т.д.

Определение. Потоком Эрланга k – порядка называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить в простейшем потоке каждую (k + 1) – ю точку, а остальные выбросить.

Очевидно, что простейший поток может рассматриваться как поток Эрланга нулевого порядка.

Пусть имеется простейший поток с интервалами Т₁, Т₂, … между событиями. Величина Т – промежуток времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k – го порядка.

Очевидно, что . Так как первоначальный поток – простейший, то случайные величины Т₁, Т₂, … распределены по показательному закону:

Обозначим f_k(t) плотность распределения величины Т для потока Эрланга k – го порядка. Если умножить эту плотность на элементарный отрезок времени dt, мы получим вероятность того, что величина Т примет значение в некоторой сколь угодно малой окрестности точки t- (t, t + dt). На этот участок должна попасть конечная точка промежутка, а предыдущие k точек простейшего потока – на промежуток (0, t).

Вероятность первого события равна , а второго - . Эти события должны осуществиться совместно, значит, их вероятности надо перемножить.

Полученный закон распределения называется законом распределением Эрланга k- го порядка.

При k = 0 получаем показательный закон распределения.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение для распределения Эрланга находятся по формулам:

Плотность потока Эрланга равна

Для промежутка времени между двумя соседними событиями в потоке Т рассмотрим нормированную величину . Такой поток будет называться нормированным потоком Эрланга.

Закон распределения для такого потока будет иметь вид:

,

Математическое ожидание и дисперсия будут равны:

Получается, что неограниченном увеличении k нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами, равными .

Изменение порядка нормированного потока Эрланга позволяет получить различную степень последействия. Последействие возрастает с увеличением k.

На практике это удобно для приближенного представления реального потока с каким – либо последействием потоком Эрланга. При этом порядок этого потока определяется из того соображения, чтобы характеристики потока Эрланга (математическое ожидание и дисперсия) совпадали с характеристиками исходного потока.

Пример. На диспетчерский пульт поступает поток заявок, который является потоком Эрланга второго порядка. Интенсив­ность потока заявок равна заявок в час. Если диспетчер в слу­чайный момент оставляет пульт, то при первой же очередной за­явке он обязан вернуться к пульту.

Найти плотность распределения времени ожидания очеред­ной заявки и построить ее график. Вычислить вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от t₁ до t₂. минут.

Дано:

Решение: Поскольку поток Эрланга второго порядка является стационарным потоком с ограниченным последействием, то для него справедлива формула Пальма:

(1)

,

где - плотность распределения вероятностей для времени ожидания первого ближайшего события;

- интенсивность потока;

- порядок потока;

- функция распределения вероятностей для времени между двумя соседними событиями потока Эрланга k-го порядка (Э_k).

Известно, что функция распределения для потока Э_k имеет вид:

(2)

,

По условию задачи поток заявок является Эрланговским порядка k=2. Тогда из (1) и (2) получим:

(3)

.

Из последнего соотношения (3) при будем иметь:

.

При .

Рассмотрим предел:

При вычислении предела числа для неопределенности типа использовано правило Лопиталя.

Перейдем к одним единицам времени:

  = 0.

 .

Из курса теории вероятностей известно, что вероятность попадания случайной величины X в отрезок численно равна площади под кривой плотности распределения вероятностей f(x). Эта площадь выражается определенным интегралом:

Следовательно, искомая вероятность равна:

Этот интеграл вычисляется по частям, если положить

Используя формулу:

получим

Ответ: вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от 20 до 30 минут равна 0,71.