Операции над случайными величинами

Рассмотрим ДСВ Х, заданную своим законом распределения:

Х	х1	х2	…	хn
Р	p1	p2	…	pn

Если С – некоторое постоянное число, то можно рассмотреть другую случайную величину Z=СХ, закон распределения которой имеет следующий вид:

СХ	Сх1	Сх2	…	Схn
Р	p1	p2	…	pn

Можно также рассмотреть случайную величину Z=Х². Ее закон распределения имеет вид:

Х2	х12	х22	…	хn2
Р	p1	p2	…	pn

При этом в верхней строке могут оказаться пары одинаковых значений, которые следует объединить, сложив при этом соответствующие вероятности. Рассмотрим простой пример.

Задача. Задан закон распределения ДСВ Х. Найти М(Х²).

Х	-1	0	1	2
Р	0,1	0,4	0,3	0,2

Решение. Составим закон распределения Х².

Х2	(-1)2	02	12	22
Р	0,1	0,4	0,3	0,2

Первое и третье значения у Х² оказались одинаковыми ((- 1)²= 1²), поэтому окончательно получим:

Х2	0	1	4
Р	0,4	0,4	0,2

Таким образом, М(Х²)=00,4+10,4+40,2=1,2.

Рассмотрим теперь две случайные величины Х и У, связанные с одним и тем же испытанием. В этом случае можно рассмотреть случайную величину Z=Х+У. Предположим, что Х и У – независимые случайные величины, т.е. вероятность принятия одной из них какого-либо значения не зависит от того, какое значение приняла другая. Покажем, как в таком случае составить закон распределения суммы Х+У, если известны законы распределения слагаемых:

Х	х1	х2	…	хn
Р	p1	p2	…	Pn

У	у1	у2	…	Уm
Р	q1	q2	…	qm

По формуле умножения вероятностей для независимых событий:

P(X=x_i, Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)=p_iq_j

Поэтому мы получим закон распределения суммы Х+У, если в верхней строке выпишем всевозможные суммы x_i+y_j (их число должно быть в точности равно mn согласно правилу произведения), а в нижней строке – соответствующие им вероятности p_iq_j. Если при этом некоторые значения в верхней строке окажутся повторяющимися, то одинаковые значения надо объединить, сложив соответствующие им вероятности.

Аналогично можно построить закон распределения произведения ХУ двух независимых случайных величин.

Рассмотрим более подробно эту задачу на следующем примере.

Задача. Имеются две урны с шарами: в первой урне 3 белых шара и 2 черных, а во второй – 1 белый и 4 черных. Из каждой урны достают наугад по два шара. Рассмотрим две случайные величины: Х – это число белых шаров, вынутых из первой урны, а У – число белых шаров, вынутых из второй урны. Найти законы распределения случайных величин Z₁=Х+У и Z₂=ХУ.

Решение. Случайная величина Х может принимать любое из трех значений: 0, 1, 2. Вероятность каждого из них находим по классическому определению.

Случайная величина У может принимать только два значения: 0; 1.

Таким образом, мы получаем законы распределения Х и У.

Х	0	1	2	Y	0	1
Р	0,1	0,6	0,3	Р	0,6	0,4

Легко понять, что случайные величины Х и У – независимы. Поэтому их сумма Х+У будет иметь следующий закон распределения:

Х+Y	0+0=0	0+1=1	1+0=1	1+1=2	2+0=2	2+1=3
Р	0,10,6=0,06	0,10,4=0,04	0,60,6=0,36	0,60,4=0,24	0,30,6=0,18	0,30,4 =0,12

или, объединяя второй столбец с третьим, а четвертый с пятым, окончательно получим:

Х+Y	0	1	2	3
Р	0,06	0,4	0,42	0,12

Аналогично для случайной величины ХУ получим

ХY	00=0	01=0	10=0	11=1	20=0	21=2
Р	0,06	0,04	0,36	0,24	0,18	0,12

Объединяя первый, второй, третий и пятый столбцы, окончательно будем иметь:

ХY	0	1	2
Р	0,64	0,24	0,12

Задача. Наугад выбирают число 2n10 (целое), а затем раскладывают его в произведение простых сомножителей. Случайная величина Х – это число сомножителей в этом разложении. Найти Д(Х).

Решение. Общее число исходов данного испытания равно 9.

Р(Х=3)=1/9 (соответствует одному исходу: 8=222);

Р(Х=2)=4/9 (соответствует четырем исходам: 4=22; 6=23; 9=33; 10=25);

Р(Х=1)=4/9 (соответствует четырем исходам: 2, 3, 5, 7 – простые числа).

Запишем законы распределения Х и Х²:

Х	1	2	3	Х2	1	4	9
Р	4/9	4/9	1/9	Р	4/9	4/9	1/9